毕业设计（论文）-浅谈求函数极限的方法

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摘要……………………………………………………………………1

关键词…………………………………………………………………………… 1

Abstract………………………………………………………………1 Keywords………………………………………………………………2 引言……………………………………………………………………2 1利用极限定义求极限………………………………………………3 2利用左右极限求极限………………………………………………1 3利用函数极限的四则运算法则来求极限…………………………1 4利用洛比达法则求极限....................................................................1 5用两个重要的极限来求函数的极限………………………………1

6利用泰勒公式……………………………………………………………………1 7利用定积分求极限………………………………………………………………1

8利用两个准则求极限…………………………………………………1

8.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）……………………………………… 8.2单调有界准则……………………………………………………………….

9利用变量求极限……………………………………………………

9.1利用等价无穷小量替换来求极限……………………………………………… 9.2利用其它变换来求极限………………………………………………….

10用归结原理求极限…………………………………………………

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11总结………………………………………………………………………. 致谢………………………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………

浅谈求函数极限的方法

数学与应用数学专业学生 步振华

指导教师 张克梅

摘要： 极限是数学分析的基础，数学分析的基本概念的表述，都可以用极限来描述.如函数在某点处导数的定义,定积分的定义,偏导数的定义,二重积分的定义,三重积分的定义,无穷级数的定义都是用极限来定义的.极限是研究数学分析的基本工具.极限是贯穿数学分析的一条主线.学好极限要从以下两个方面着手: 1)是考察所给函数是否存在极限;2）若函数存在极限,则考虑如何计算此极限.本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下,如何去求极限进行综述. 对于简单的极限的计算，利用定义求值或利用极限的四则运算法则求值都是 可行的,但是对于一个比较复杂的极限的计算, 则不能直接采用一般的定义或者定理，即使采用洛必达法则也是比较繁琐的,然而用泰勒展示则计算简单多了,这就说明为一般地解决极限求值问题时,就必须利用有效有针对性的计算方法，对各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手续． 传统的极限的计算方法不下十几种,但具体到计算不同特征的极限时,究竟采用哪种方法,很多人总感到无从下手．只有将这些方法进行归纳总结,从而才可以针对不同特征的式子选择适当的计算方法,进而简化计算

关键词 ：极限；极限的定义；罗必达法则 ；泰勒公式；单调有限法则；

Introduction to beg function limit method

Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Name步振华

Tutor 张克梅

Abstract： Limit is the basis of mathematical analysis , the basic concepts of mathematical analysis of expression , can be used to describe the limit as a function definition derivative at some point , the definition of the definite integral , the definition of partial derivative , the definition of double integrals , triple integral definition , infinite series of definitions are used to define the limits of the limit is the basic tool to study the limits of mathematical analysis is a main theme throughout the mathematical analysis to learn the limits from the following two aspects is to investigate the function if there is a limit .If there is a limit function , then consider how to calculate this limit this article is the second question that under the

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conditions of the existence of the limit , how to find the limits are reviewed for a simple calculation of the limit of the use . define the limits of the evaluation or the use of four evaluation algorithms are feasible, but for a more complicated limit calculations, such asFind in coslimx when exxx values are not directly using the general definition or theorem, even with the Hospital's Rule is more complicated , however, Taylor shows the calculation is much simpler , which is generally described when the limit is evaluated to solve the problem , we must use effective targeted method of calculation for each specific issues but also good at finding and using its features to simplify procedures. The traditional method of calculating the limit of no less than a dozen, but when calculating the limits specific to different characteristics , whether using either method, a lot of people always feel unable to start . These methods will only be summarized, so that we can choose the appropriate method of calculation formulas for different characteristics , and thus simplify the calculation

Keywords ：Limit; ultimate limits of nature; Luo's Rule; Taylor formula; monotonous limited law;

引言

高等数学是以函数为研究对象，以极限理论和极限方法为基本方法，以微积分学为主要内容的一门学科，极限理论和极限方法在这门课程中占有极其重要的地位。高等数学许多深层次的理论及其应用都是极限的延拓和深化，如连续、导数、微积分等等都是由极限定义的，离开了极限的思想高等数学就失去了基础失去了价值，因此极限运算是高等数学的基本运算。由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限定义本身去求极限，又由于极限运算分布于整个高等数学的始终，许多重要的概念是由极限定义的。极限知识是研究导数、各种积分、级数等的基本工具。反过来，我们也可以利用这些概念来求一些极限，所以运算方法繁多。针对这种情况，本文作者通过立体归纳总结出了如下常见的求极限的方法

1.利用极限定义求极限

定义1.1：设函数f在点x0的某空心邻域U'o?x;??内有定义,A为定数.若对任给的??0,存在正

'0数?（﹤?），使得当0?x-xo??时有 f(x)?A??，则称函数f当x趋于x0时以A为极限,记作

x?x0limf(x)?A 或 f(x)?A?x?x0?.

定义1.2：设f为定义在?a,???上的函数,A为定数.若对任给的??0，存在正数M??a?,使得当x?M时有

f(x)?A??，

则称函数f当x趋于??时以A为极限,记作

limf(x)?A 或 f(x)?A?x????.

x???

对于其他形式函数极限的定义我就用?-?语言描述定义：

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li-mf(x)=A: ???0,???0,当-?

x?x0f(x)=A: ???0,???0,当0< x-x0M时，|f（x）- A |

x?? limf(x)?A:???0,?M?0,当x<-M时，|f（x）- A |

x???在数学分析中我们经常用函数极限的定义来证明极限存在问题。

2x-3x?2 例1.1 用极限定义证明：lim=1

x?2x-2x2?4x?4x2?3x?2 证 由 ?1?x?2x?2(x?2)2 =

x?2=x?2

x2?3x?2 ???0 取?=? 则当0<|x-2|

x?22x-3x?2由函数极限?-?定义有：xlim=1.2

?2x-22.利用左右极限求极限

定理2.1：函数极限limf（x）存在且等于A的充分必要条件是左极限lim-f(x)

x?x0x?x0及右极限lim?f（x）都存在且都等于A。即有：limf?x?= A?lim-f（x）=lim?f（x）

x?x0x?x0x?x0x?x0=A。

此类方法多用于求分段函数极限问题。

x??sinx,x?0 例2.1 f(x)??

??1?x,x?0 求f(x)在x?0的极限

1?x?1 解 lim?x?0 lim?x?0x?0x?1 sinxx?0f(x)?limf(x)?1 lim?? - 5 - - 5 -- 5 -

limf(x)?1 x?0

3.利用函数极限的四则运算法则来求极限

定理3.1：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)?g(x)，f(x)?g(x)

x?x0x?x当x?x0时也存在且

(1)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?0x?x0x?x.0(2)lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)

x?x0x?x0x?x0(3)又若limg(x)?0，则

x?x0f(x)在x?x0时也存在，且有 g(x)f(x)limf(x) limg(x)?limg(x)x?x0x?x0x?x0利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变

?0量都不满足这个条件，如、等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进

?0行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握因式分解、有理化运算等恒等变形。 例3.1：求limx?2?x2?4 x?2解：原式=limx?2??x?2??x?2??x?2lim?x?2??0

x?2?x2?3x?5例3．2：求 lim

x?2x?4x2?3x?5解: lim

x?2x?422?3?2?55? =

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4.利用洛比达法则求极限