- 6 - - 6 -- 6 -
0?洛比达法则一般被用来求型不定式极限及型不定式极限．用此种方法求极限要
0?求在点x0的空心邻域U 例 4.1求极限limx??0?x0?内两者都可导，且作分母的函数的导数不为零．
1?cosx
x??tan2xx?? 解： 由于lim?1?cosx??limtan2x?0，且有
?1?cosx?'??sinx，?tan2x?'?2tanxsec2x?0，
由洛比达法则可得:
1?cosx
x??tan2x?sinx ?lim
x??2tanxsec2xlim?cos3x???lim?? x??2???
1 2ex例 4.2求极限lim3
x???x 解： 由于limex?limx3???，并有ex'?ex，x3'?3x2?0，
x???x???????由洛比达法则可得：
exex lim3?lim2，
x???xx???3x 由于函数f?x??ex，g?x??3x2均满足洛比达法则的条件，所以再次利用洛比达法则：
exexexexlim?lim2?lim?lim??? x???x3x???3xx???6xx???6注 1 如果limx?x0f'?x?0?仍是型不定式极限或型不定式极限，只要有可能，我们g'?x?0?f'?x?是否存在，这时f'?x?和g'?x?在x0的某邻g'?x?可再次用洛比达法则，即考察极限limx?x0域内必须满足洛比达法则的条件． 注 2 若limx?x0f'?x?f?x?不存在，并不能说明lim不存在．
x?x0g?x?g'?x? - 7 - - 7 -- 7 -
注 3 不能对任何比式极限都按洛比达法则求解，首先必须注意它是不是不定式极限，
?x?sinx其次是否满足洛比达法则的其他条件．比如这个简单的极限lim?1虽然是型，
x???xx?sinx1?cosx?lim但若不顾条件随便使用洛比达法则lim，就会因右式的极限不存在
x??x??x1而推出原极限不存在的错误结论。
5.用两个重要的极限来求函数的极限
①利用limx?0sinx?1来求极限 xlimx?0sinx?1的扩展形为： x令g?x??0，当x?x0或x??时，则有
limx?x0sing?x?sing?x??1 ?1或limg?x?g?x?x??sinx ??x例5.1：limx??解：令t=??x.则sinx=sin(?? t)=sint, 且当x??时t?0 故 limx??sinxsint?lim?1 ??xt?0t例5.2：求limx?1sinx2?1
x?1???x?1??sin?x2?1??sin?x2?1?解：原式=lim?lim?x?1???2 2????x?1x?1x?1x?1x?11②利用lim(1?)?e来求极限
xx??limx??11(1?)?e的另一种形式为lim(1??)??e.事实上，令??.x?????0.xx??01所以e?limx??1(1?)x?lim(1??)??e
x??01x1例5.3: 求lim(1?2x)的极限
x?0 - 8 - - 8 -- 8 -
解：原式=limx?011??22x2x?(1?2x)?(1?2x)??e ??利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合
或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。
6.利用泰勒公式
对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用罗比塔法则更为方便，下列为常用的展开式：
x2xn?????o(xn) 1、e?1?x?2!n!xx3x5x2n?1n?12、sinx?x??????(?1)?o(x2n)
3!5!(2n?1)!2nx2x4nx3、cosx?1??????(?1)?o(x2n?1) 2!4!(2n)!nx2n?1x????(?1)?o(xn) 4、ln(1?x)?x?2n5、(1?x)??1??x?6、
?(??1)2!x2????(??1)?(??n?1)n!xn?o(xn)
1? 1?x?x2????xn?o(xn) 1?x上述展开式中的符号o(xn)都有:
o(xn)limn?0 x?0x例6.1: 求limx?0a?2x?a?x(a?0)
x解:利用泰勒公式，当x?0 有
x1?x?1??o(x)
2于是 limx?0a?2x?a?x
x2xx?1?)aa
xa(1?=limx?0 - 9 - - 9 -- 9 -
1x?12x?a?1?()?o(x)?1???o(x)?2a?2a? =limx?0x1xx?o(x)a??o(x)12a2a=lim ?lim?x?0x?0xx2a小结：此类题型考验的是我们对泰勒展式的熟悉程度，因此解决此类题目要十分
熟悉泰勒展式的结构以及用途。
7.利用定积分求极限
定义7.1：设函数f?x? 在区间?a,b?上连续，将区间?a,b?分成n个子区间
?,n?，作和式?a,x0?,?x0,x1?,?x1,x2?,???,?xi,b?.在每个子区?xi?1,xi?任取一点?i?i?1,2,（见右下图），当??0时，(?属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间?a,b?的定积分。
1p?2p?3p???np(p?0) 例7.1:求limn???np?11p?2p?3p???np1nip(p?0)?lim?() 解: limn???n???nnp?1i?1n设f(x)?xp,则f(x)在?0,1?内连续,
1ii?1i,取?i??[,] nnnni所以, f(?i)?()p
n?xi?所以原式??xpdx?011 p?1难点：定积分的概念，上限函数，定积分的换元法。
8.利用两个准则求极限
8.1函数极限的迫敛性（夹逼法则）
定义8.1：若一正整数N,当n?N时，有xn?yn?zn且
x??limxn?limzn?a则有
x??x??limyn?a. （注：利用夹逼准则求极限关键在于从xn的表达式中，通常通过放大或缩
小的方法找出两个有相同极限值的数列?yn?和?zn?，使得yn?xn?zn。）
- 10 - - 10 -- 10 -
例8.1： xn?1n?12?1n?12?......?1n?n2 求xn的极限
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项 xn?1n?11n?1?xn?nn?n222?1n?1?1n?122?......?1n?112?nn?n?n2 xn?nn?n21n?12?......?n?12n?n2 则 nn?12 又因为limx???limx???1
limyn2?lim(yn?1?a)l2?l?ayn?0x??x??1?4a?1limyn?l?x??28.2单调有界准则
定义8.2：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。(注：利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。)
例8.2：证明下列数列的极限存在，并求极限。
y1?a,y2?a?a,y3?a?a?a,??????,yn?a?a?a????????a
证明：从这个数列构造来看 yn 显然是单调增加的。用归纳法可证。 又因为y2?a?y1,y3?a?y2,??????,yn?a?yn?1 所以得yn2?a?yn?1. 因为前面证明yn是单调增加的。 两端除以yn得yn?a?1 ynaa?a, 从而?1?a?1 ynyn 因为yn?y1?a则 a?yn?a?1
即yn 是有界的。根据定理?yn?有极限，而且极限唯一。 令limyn?l则limyn2?lim(yn?1?a)
x??x??x??