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二次函数的性质及其应用
一、相关概念及定义
b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：1、二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，2、二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：
⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．
b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． ⑵ a，例1、二次函数的图象顶点坐标为（2，1），形状开品与抛物线y= - 2x相同，这个函数解析式为________。 例2、如果函数
2
y?(k?3)xk2?3k?2?kx?1是二次函数,则k的值是______
例3、下列函数不属于二次函数的是（ ） A、y=(x+1)(x-1) B y=1?x?1?2 C y=2x2-x(1+2x) D y=1+2x2 2例4、（1998?杭州）二次函数y=3x2-2x-4的二次项系数与常数项的和是（ ） A、1 B、-1 C、7 D、-6 二 、二次函数1）图像 y?a(x?h)2?k的图像和性质 2b4ac?b2，k?二次函数y?ax?bx?c用配方法可化成：y?a?x?h??k的形式，其中h??，下2a4a2面看下二次函数y?ax?bx?c的图像，图像问题从以下几个方面着手：开口方向、对称轴、顶点坐标、与X轴的交点、2与y轴的交点 a?0 向上 X= ?a?0 y 图 象 O x 开 口 对 称 轴 向下 X= ?b 2a) b 2a顶点坐标 b4ac?b2 (?,2a4a值 y随x的增大而 y随x的增大而 ?b 2a最 值 增减性 例1、函数y=ax2当x＝ 时，y有最 当x＝ 时，y有最 值 y 随x的增大而 y随x的增大而 在对称轴左侧 在对称轴右侧 ?a与y?
a（a?0），在同一坐标系中的图像可能是（ ） x
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A B C D 例2、在同一坐标系中，一次函数y=ax+1与二次函数y=x+a的图像可能是（ ）
2
A B C D 例3、二次函数y=x?2x?3的图像如图所示，当y<0时，自变量x的取值范围是（ ）??x?1?2?1(x?3)例4、已知函数y??，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（ ） 2??x?5??1(x?3) A 、0 B、1 C、2 D、3 例5、已知正比例函数y=ax与反比例函数致图像是
2
y?kx在同一坐标系中的图像如图，判断二次函数y?ax2?k在坐标系中的大 A B C
2)性质：
函数的性质从以下几个方面入手:开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性 例1、（2011?永州）由二次函数y=2（x-3）2+1，可知（ ） A、其图象的开口向下 B、其图像的对称轴为直线x=-3 C、其最小值为1 D、当x<3时，y随x的增大而增大
例2、（2011?烟台）如图，平面直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，则下列关系正确的是（ ）
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A、m=n，k＞h B、m=n，k＜h C、m＞n，k=h D、m＜n，k=h
例3、（2011?无锡）下列二次函数中，图象以直线x=2为对称轴、且经过点（0，1）的是（ ） A、y=（x-2）2+1 B、y=（x+2）2+1 C、y=（x-2）2-3 D、y=（x+2）2-3
例4、（2011?台湾）坐标平面上，二次函数y=x2-6x+3的图形与下列哪一个方程式的图形没有交点（ ） A、x=50 B、x=-50 C、y=50 D、y=-50
例5、（2011?广安）若二次函数y=（x-m）2-1，当x≤l时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A、m=1 B、m＞l C、m≥1 D、m≤1
例6、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（
例7、（2011?台湾）如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（-1，1）、（2，-1）两点．下列关于此二次函数的叙述，何者正确（ ）
A、y的最大值小于0 B、当x=0时，y的值大于1 C、当x=1时，y的值大于1 D、当x=3时，y的值小于0 例8、已知抛物线y=-（1/3)x+2,当1≤x≤5时，y的最大值是（ ） 三、二次函数图象的平移 1、平移步骤：
2k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，k?处，具体平移方法如下： ⑵ 保持抛物线y?ax的形状不变，将其顶点平移到?h，22翰林院，一个创造学习奇迹的地方！ 3
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y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k 平移规律 在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 例1、（2011?青海）将y=2x2的函数图象向左平移2个单位长度后，得到的函数解析式是（ ） A、y=2x2+2 B、y=2（x+2）2 C、y=（x-2）2 D、y=2x2-2 例2、（2011?莆田）抛物线y=-6x2可以看作是由抛物线y=-6x2+5按下列何种变换得到（ ） A、向上平移5个单位 B、向下平移5个单位 C、向左平移5个单位 D、向右平移5个单位 2例3（、2011?桂林）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x+2x+3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是（ ）A、y=-（x+1）+2 B、y=-（x-1）+4 C、y=-（x-1）+2 D、y=-（x+1）+4 例4、（2011?滨州）抛物线y=（x+2）2-3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是（ ） A、先向左平移2个单位，再向上平移3个单位 B、先向左平移2个单位，再向下平移3个单位 C、先向右平移2个单位，再向下平移3个单位 D、先向右平移2个单位，再向上平移3个单位 例5、（2010?陕西）将抛物线C：y=x2+3x-10，将抛物线C平移到C′．若两条抛物线C，C′关于直线x=1对称，则下列平C、将抛物线C向右平移5个单位 D、将抛物线C向右平移6个单位 四、二次函数解析式的几种求法（6种） 1）、一般式：2）、顶点式：2222移方法中正确的是（ ） A、将抛物线C向右平移2.5个单位 B、将抛物线C向右平移3个单位
y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 2 3）、交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：1、已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式y?a?x?x1??x?x2? y?ax2?bx?c中，可得以a、b、c为未知数的三元方程组，解此方程组求得a、b、c的值再代入一般式可得所求函数解析式。 3)、B(7,6)、C(?5,30)，求这个二次函数的解析式。 23?4a?2b?c???2?2解：设这个二次函数的解析式为y?ax?ba?c，则由题意得：?49a?7b?c?6
?25a?5b?c?30??15解这个方程组，得a?，b??3，c?.
22 例1、已知二次函数的图象经过点A(2,?翰林院，一个创造学习奇迹的地方！
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故所求的二次函数的解析式为
y?125x?3x?. 222、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式
当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为
y?a(x?m)2?n（即顶点式）较为简便。
例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y轴的交点的
纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。
例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为x故
3、已知图象与x轴两交点坐标求解析式
当已知二次函数图象与x轴的两交点坐标时，可设其解析式为例4、已知二次函数的图象与x轴交于?1且最小值为－2，求这个函数的解析式。
22所求的解析式为y?(x?1)?2，即y?x?2x?1。
y?a(x?x1)(x?x2)（即交点式）较为简便。
A(?1,0)、B(3,0)两点，与y轴交点的纵坐标为2，求此二次函数的解析式。2224∴所求解析式为y??(x?1)(x?3)，即y??x?x?2. 3334、已知图象与x轴两交点间的距离求解析式 当已知二次函数与x轴两交点间的距离时，常用一般式y?ax2?bx?c和关系式：x1?x2??a（其中
??b2?4ac）求解。 例5、已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，且经过点（－2，2）和（4，－4），求这个二次函数的解析式。 解： 11y??x2?x?2. 42设二次函数的图象与x轴两交点为(x1,0)和(x2,0)，不防设x1＜x2，由数轴上两点间的距离的意义知d?x2?x1，则x2?x1?d。因此由“两点式”可设所求解析式为y?a(x?x1)?x?(x1?d)?来求解。
所求的解析式为5、由二次函数的图象平移变换求解析式 y?a(x?m)2?n的形式，若
图象右（左）移动几个单位，m的值就减（加）几个单位，若图象向上（下）移动几个单位，n的值就加（减）几个单位。
2例6、将二次函数y??2x?8x?5的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，求所得二次函数的解析式。
2故 所求的解析式为y??2(x?1)?1. 06、二次函数的图象绕顶点旋转180或沿x轴翻折变换求解析式 0这类问题，必须把已知二次函数的解析式化成“顶点式”。当的图象绕顶点旋转180时，旋转前后顶点坐标不变，由已知图象的平移变换求解析式时，通常是将已知图象的解析式写成“顶点式”即而开口方向相反，故二次顶系数互为相反数；当图象沿x轴翻折时，翻折前后顶点关于x轴对称，开口方向相反。
y?2x2?4x?1的图象绕顶点旋转180，求所得抛物线的解析式。 22解：∵y?2x?4x?1?2(x?1)?1, 02 ∴抛物线绕顶点旋转180后所得二次函数解析式为y??2(x?1)?1， 例7、把函数0y??2x2?4x?3. 2例8、把二次函数y?x?2x?5的图象沿x轴翻折，求所得抛物线的解析式。
22解：∵y?x?2x?5?(x?1)?4，
2 ∴抛物线沿x轴翻折后所得解析式为y??(x?1)?4，
2故 所求解析式为y??x?2x?5.
故 所求解析式为五、抛物线与x轴的交点
1、直线与抛物线的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：
??0?抛物线与x轴相交；
②有一个交点（顶点在x轴上）???0?抛物线与x轴相切； ③没有交点???0?抛物线与x轴相离.
①有两个交点?翰林院，一个创造学习奇迹的地方！
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