阜阳翰林院培训学校 2、平行于x轴的直线与抛物线的交点
可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是
ax2?bx?c?k的两个实数根.
3、抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线方程ax
20?，B?x2，0?，由于x1、x2是y?ax2?bx?c与x轴两交点为A?x1，?bx?c?0的两个根，故
bcx1?x2??,x1?x2?aaAB?x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?24cb2?4ac??b??4x1x2??????? aaa?a? 2例1、2011?玉溪）如图，函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A（1，0），B（0，3），对称轴是x=-1，在下列结论中，错误的是（ ） A、顶点坐标为（-1，4） B、函数的解析式为y=-x2-2x+3 C、当x＜0时，y随x的增大而增大 D、抛物线与x轴的另一个交点是（-3，0） 例2、（2011?襄阳）已知函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A、k＜4 B、k≤4 C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3 例3、（2011?潍坊）已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a＞0）的两个实数根x1，那么二次函数ax2+bx+cx2满足x1+x2=4和x1?x2=3，（a＞0）的图象有可能是（ ） A B C D 例4、（2011?台湾）如图，将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上，判断方程31x2-999x+892=0的两根，下列叙述何者正确（ ） A、两根相异，且均为正根 B、两根相异，且只有一个正根 例7图 翰林院，一个创造学习奇迹的地方！
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C、两根相同，且为正根 D、两根相同，且为负根
例5、（2011?绵阳）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x-a）（x-b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（ ） A、x1＜x2＜a＜b B、x1＜a＜x2＜b C、x1＜a＜b＜x2 D、a＜x1＜b＜x2
例6、（2011?黄石）设一元二次方程（x-1）（x-2）=m（m＞0）的两实根分别为α，β，且α＜β，则α，β满足（ ） A、1＜α＜β＜2 B、1＜α＜2＜β C、α＜1＜β＜2 D、α＜1且β＞2
例7、（2011?菏泽）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A、a+b=-1 B、a-b=-1 C、b＜2a D、ac＜0
例8、（2010?崇左）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，给出下列说法：①方程ax2+bx+c=0的根为x1=-1、x1=3；abc＜0；②当x＞1时，y随x值的增大而减小；④当y＞0时，-1＜x＜3．其中正确的说法是（ ） A、①③② B、① C、①②③②③④ D、①
例8 例9 例10
与y轴的交点坐
例9、2010?汕头）已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围
例10、（2011?荆州）如图，等腰梯形ABCD的底边AD在x轴上，顶点C在y轴正半轴上，B（4，2），一次函数y=kx-1的图象平分它的面积，关于x的函数y=mx2-（3m+k）x+2m+k的图象与坐标轴只有两个交点，求m的值． 六、二次函数的应用
技巧说明：运用二次函数解决简单的实际问题，关键是在观察和分析问题的基础上，建立合适的平面直角坐标系，然后运用二次函数的图像和性质去解决问题，在建立平面直角坐标系时可以从以下几点考虑：1）尽量联系更多的已知条件。2)使所求的解析式尽可能的简单，特别注意自变量的取值范围要符合问题的实际意义。
例1、（2011?兰州）如图，已知：正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为各边上的点，且AE=BF=CG=DH，设小正方形EFGH的面积为s，AE为x，则s关于x的函数图象大致是（
A B C D
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例2、（2011?株洲）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ ） A、4米 B、3米 C、2米 D、1米 例2图 例3图 例3、（2007?枣庄）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 1y??x2?3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则5他与篮底的距离L是（ ） A、3.5m B、4m C、4.5m D、4.6m 例4、（2010?丽水）如图，四边形ABCD中，∠，AB=AD，AC=4BC，设CD的长为x，四边形ABCD的面BAD=∠ACB=90°积为y，则y与x之间的函数关系式是（ ） 例5、某公司的生产利润原来是a元，经过连续两年的增长达到了y万元，如果每年增长的百分数都是x，那么y与x的函数关系是（ ） A、y=x2+a B、y=a（x-1）2 C、y=a（1-x）2 D、y=a（1+x）2 例6、如图所示，在矩形ABCD中，AB=6厘米，BC=12厘米，点P在线段AB上，P从点A开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动．点E为线段BC的中点，点Q从E点开始，沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动．如果P、Q同时分别从A、E出发，写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式，求出t的取值范围
例7、（2010?哈尔滨）体育课上，老师用绳子围成一个周长为30米的游戏场地，围成的场地是如图所示的矩形ABCD．设边，矩形ABCD的面积为S（单位：平方米）． AB的长为x（单位：米）
（1）求S与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； （2）若矩形ABCD的面积为50平方米，且AB＜AD，请求出此时AB的长． 例8、21、
如图，在Rt△ABC中，∠，AC、BC的长为方程x2-14x+a=0的两根，且AC-BC=2，D为AB的中点． ACB=90°（1）求a的值．
（2）动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿A→D→C的路线向点C运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动，且点Q每运动1秒，就停止2秒，然后再运动1秒…若点P、Q同时出发，当其中有一点
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到达终点时整个运动随之结束．设运动时间为t秒．
在整个运动过程中，设△PCQ的面积为S，试求S与t之间的函数关系式；并指出自变量t的取值范围； ①
是否存在这样的t，使得△PCQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理②
由．
例9、（2011?徐州）某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件．
（1）请写出每月销售该商品的利润y（元）与单价上涨x（元）件的函数关系式； （2）单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
例10、（2011?咸宁）某农机服务站销售一批柴油，平均每天可售出20桶，每桶盈利40元．为了支援我市抗旱救灾，农机服务站决定采取降价措施．经市场调研发现：如果每桶柴油降价1元，农机服务站平均每天可多售出2桶． （1）假设每桶柴油降价x元，每天销售这种柴油所获利润为y元，求y与x之间的函数关系式；
（2）每桶柴油降价多少元后出售，农机服务站每天销售这种柴油可获得最大利润？此时，与降价前比较，每天销售这种柴油可多获利多少元？
例11、（2011?遵义）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B（4，1）两点，且与y轴交于点C． （1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式及点C的坐标；
（2）如图（1），连接AB，在题（1）中的抛物线上是否存在点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求点E的坐标．
例12、（2011?肇庆）已知抛物线（m>0)与x轴交干A、B两点．
3y?x2?mx?m24（1）求证：抛物线的对称轴在y轴的左侧；
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（2）若
（O为坐标原点），求抛物线的解析式；
11OA?2OB?3（3）设抛物线与y轴交于点C，若△ABC是直角三角形．求△ABC的面积．
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