小学数学难题解法大全 第五部分 典型难题讲析（七之六）附录：逻辑与组合初步
（六）附录：逻辑与组合初步 1.排列与组合
【有条件排列组合】
例1 用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这十个数字能够组成______个没有重复数字的三位数。 （哈尔滨市第七届小学数学竞赛试题）
讲析：用这十个数字排列成一个不重复数字的三位数时，百位上不能为0，故共有9种不同的取法。 因为百位上已取走一个数字，所以十位上只剩下9个数字了，故十位上有9种取法。 同理，百位上和个位上各取走一个数字，所以还剩下8个数字，供个位上取。 所以，组成没有重复数字的三位数共有 9×9×8=648（个）。
例2 甲、乙、丙、丁四个同学排成一排，从左到右数，如果甲不排在第一个位置上，乙不排在第二个位置上，丙不排在第三个位置上，丁不排在第四个位置上，那么不同的排法共有______种。 （1994年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：因每个人都不排在原来的位置上，所以，当乙排在第一位时，其他几人的排法共有3种；同理，当丙、丁排在第一位时，其他几人的排法也各有3种。 因此，一共有9种排法。
例3 有一种用六位数表示日期的方法，如890817表示1989年8月17日，也就是从左到右第一、二位数表示年，第三、四位数表示月，第五、六位数表示日。如果用这种方法表示1991年的日期，那么全年中六个数字都不相同的日期共有______天。
（1991年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：第一、二位数字显然只能取9和1，于是第三位只能取0。
第五位数字只能取0、1、2或3，而0和1已取走，当取3时，第六位上只能取0和1，显然不行。因此，第五位上只能取2。
于是，第四位上只能取3、4、5、6、7、8；第六位上也只能取3、4、5、6、7、8，且第四、六位上数字不能取同。 所以，一共有 6×5=30（种）。 【环形排列】
例1 编号为1、2、3、4的四把椅子，摆成一个圆圈。现有甲、乙、丙、丁四人去坐，规定甲、乙两人必须坐在相邻座位上，一共有多少种坐法？
（长沙市奥林匹克代表队集训试题）
讲析：如图5.87，四把椅子排成一个圆圈。
当甲坐在①号位时，乙只能坐在②或④
号位上，则共有4种排法；同理，当甲分别坐在②、③、④号位上时，各有4种排法。 所以，一共有16种排列法。
例2 从1至9这九个数字中挑出六个不同的数填在图5.88的六个圆圈中，使任意相邻两个圆圈内数字之和都是质数，那么最多能找出______种不同的挑法来。（挑出的数字相同，而排列次序不同的都只算一种）
（北京市第九届“迎春杯”小学数学竞赛试题）
讲析：在1至9这九个自然数中，奇数有1、3、5、7、9五个，偶数有2、4、6、8四个。要使排列之后，每相邻两个数字之和为质数，则必须奇数与偶数间隔排列，也就是每次取3个奇数和3个偶数。
从五个奇数中，取3个数共有10种方法； 从四个偶数中，取3个数共有4种方法。
但并不是每一种3个奇数和3个偶数都可以排成符合要求的排列。经检验，共有26种排法。 2.抽屉原理问题
例1 袋子里有红、黄、黑、白珠子各15粒，闭上眼睛要想摸出颜色相同的五粒珠子，至少要摸出______粒珠子，才能保证达到目的。
（1992年福州市小学数学竞赛试题）
讲析：从最好的情况着手，则摸5粒刚好是同色的，但是不能保证做到。要保证5粒同色，必然从最坏情况着手。 最坏情况是摸了16粒，这16粒珠子中没有一种是5粒同色，也就是说有4粒红色、4粒黄色、4粒黑色和4粒白色的。现在再去摸一粒，这一粒只能是四色之一。 所以，至少要摸17粒。
例2 在一个3×9的方格里，将每一格随意涂上黑色或白色，试说明不管怎样涂，至少有两列的着色是完全相同的。 （“新苗杯”小学数学邀请赛试题）
讲析：可用两种颜色涂每一列的三格，它共有8种情况，如图5.89所示。
那么，剩下的一列不管怎样涂色，一定是上面8种中的一种。所以它至少有两列的着色是完全相同的。 例3 把1、2、3、??、10这十个自然数以任意顺序排成一圈，试说明一定有相邻三个数之和不小于17。 （乌鲁木齐市小学数学竞赛试题）
讲析：因为1＋2＋3＋??＋10=55。这十个数不管怎样排列，按每相邻三个数相加，共分成了10组，每个数都加了3次。
10组之和是165，平均每组为16，还余5。然后把5分成几个数再加到其中一组或几组中，则肯定有一组相邻三个数之和不小于17。 3.容斥原理问题
例1 在1至1000的自然数中，不能被5或7整除的数有______个。 （莫斯科市第四届小学数学竞赛试题）
讲析：能被5整除的数共有1000÷5=200（个）； 能被7整除的数共有1000÷7=142（个）??6（个）；
同时能被5和7整除的数共有1000÷35=28（个）??20（个）。 所以，能被5或7整除的数一共有（即重复了的共有）： 200＋142—28=314（个）； 不能被5或7整除的数一共有 1000—314=686（个）。
例2 某个班的全体学生进行短跑、游泳、篮球三个项目的测试，有4名学生在这三个项目上都没有达到优秀，其余每人至少有一个项目达到了优秀。这部分学生达到优秀的项目、人数如下表：
求这个班的学生人数。
（全国第三届“华杯赛”复赛试题）
讲析：如图5.90，图中三个圆圈分别表示短跑、游泳和篮球达到优秀级的学生人数。
只有篮球一项达到优秀的有 15—6—5+2=6（人）；
只有游泳一项达到优秀的有 18—6—6+2=8（人）；
只有短跑一项达到优秀的有 17—6—5＋2=8（人）。 获得两项或者三项优秀的有 6＋6+5—2×2=13（人）。 另有4人一项都没获优秀。
所以，这个班学生人数是13＋6＋8＋8＋4=39（人）。 4.最值问题 【最小值问题】
例1 外宾由甲地经乙地、丙地去丁地参观。甲、乙、丙、丁四地和甲乙、乙丙、丙丁的中点，原来就各有一位民警值勤。为了保证安全，上级决定在沿途增加值勤民警，并规定每相邻的两位民警（包括原有的民警）之间的距离都相等。现知甲乙相距5000米，乙丙相距8000米，丙丁相距4000米，那么至少要增加______位民警。
（《中华电力杯》少年数学竞赛决赛第一试试题）
讲析：如图5.91，现在甲、乙、丙、丁和甲乙、乙丙、丙丁各处中点各有一位民警，共有7位民警。他们将上面的线段分为了2个2500米，2个4000米，2个2000米。现要在他们各自的中间插入若干名民警，要求每两人之间距离相等，这实际上是要求将2500、4000、2000分成尽可能长的同样长的小路。
由于2500、4000、2000的最大公约数是500，所以，整段路最少需要的民警数是（5000＋8000＋4000）÷500＋1=35（名）。
例2 在一个正方体表面上，三只蚂蚁分别处在A、B、C的位置上，如图5.92所示，它们爬行的速度相等。若要求它们同时出发会面，那么，应选择哪点会面最省时？ （湖南怀化地区小学数学奥林匹克预赛试题）
讲析：因为三只蚂蚁速度相等，要想从各自的地点出发会面最省时，必须三者同时到达，即各自行的路程相等。 我们可将正方体表面展开，如图5.93，则A、B、C三点在同一平面上。这样，便将问题转化为在同一平面内找出一点O，使O到这三点的距离相等且最短。
所以，连接A和C，它与正方体的一条棱交于O；再连接OB，不难得出AO=OC=OB。 故，O点即为三只蚂蚁会面之处。 【最大值问题】
例1 有三条线段a、b、c，并且a＜b＜c。判断：图5.94的三个梯形中，第几个图形面积最大？
（全国第二届“华杯赛”初赛试题） 讲析：三个图的面积分别是：
三个面积数变化的部分是两数和与另一数的乘积，不变量是（a＋b＋c）的和一定。其问题实质上是把这个定值拆成两个数，求这两个数为何值时，乘积最大。由等周长的长方形面积最大原理可知，（a＋b）×c这组数的值最接近。 故图（3）的面积最大。
例2 某商店有一天，估计将进货单价为90元的某商品按100元售出后，能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个。为了使这一天能赚得更多利润，售价应定为每个______元。 （台北市数学竞赛试题）
讲析：因为按每个100元出售，能卖出500个，每个涨价1元，其销量减少10个，所以，这种商品按单价90元进货，共进了600个。
现把600个商品按每份10个，可分成60份。因每个涨价1元，销量就减少1份（即10个）；相反，每个减价1元，销量就增加1份。
所以，每个涨价的钱数与销售的份数之和是不变的（为60），根据等周长长方形面积最大原理可知，当把60分为两个30时，即每个涨价30元，卖出30份，此时有最大的利润。
因此，每个售价应定为90＋30=120（元）时，这一天能获得最大利润。 5.分析推理问题 【图形判断】
例1 如图5.59，每层楼有三个窗户，由左向右表示一个三位数。四个楼层表示的三位数有：791，275，362，612。问：
第二层楼表示哪个三位数？（全国第四届“华杯赛”初赛试题）
讲析：每个窗户代表一个数字符号，而给出的四个数中，362和612的个位数字相同，第二、四层楼右边窗户符号相同，从而可以肯定，这两层楼的窗户分别代表362和612。在这两个数中又都含有6，对照第二、四层窗户，第二层左边的窗户和第四层中间的窗户符号相同，于是可推断出第二层楼表示612。
例2 一名间谍在他所追踪的人拨电话时，随着拨号盘转回的声音，用铅笔以同样的速度在纸上画线。他画出的6条线如图5.96。
他很快就知道了那人拨的电话号码。请你说说间谍是如何知道的？这个电话号码是多少？（可以用尺量线段的长度）
（第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：从电话拨盘上可以看出，拨1时，画出的线段最短。拨0时，画出的线段最长。 由于六位号码数各不相同（画线长短不一），因此其中必有两个数字是相邻的。
用直尺量一下6条线段的长度，其中最接近的两条线段长度之差，就是自然数增加“1”的长度。
量得第一、二条线段相差0.8厘米，而第五条线段与第三条相差7.2厘米。 由7.2÷0.8=9，可知最长的线段必代表0，最短的线段代表1。
再将每条线段的长度减去第三条线段“1”的长度，然后除以0.8，即可求出每条线段代表的数字。 所以，电话号码是651803。 【计算推理】
例1 4只同样的瓶子内分别装有一定数量的油。每瓶和其它各瓶分别合称一次，记录千克数如下：8、9、10、11、12、13。已知4个空瓶的重量之和以及油的重量之和均为质数，问最重的两瓶内有多少千克油？ （第五届《从小爱数学》邀请赛试题）
讲析：4瓶油连瓶共重（8＋9＋10＋11＋12＋13）÷3=21（千克）。
油的总重量与瓶的总重量均为质数，所以它们必为一奇一偶数。而质数中是偶数的只有2。 稍作分析便得到油重19千克，瓶重1/2千克。 则最重的两瓶油为13-1/2×2=12（千克）。 例2 主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积是72，年龄之和恰好是我家的楼层号，楼号你是知道的。你能说出三个小孩的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。”于是，客人站起来，走到窗前，看看楼下的三个小孩，有一个较大，另两个较小。客人说：“我知道他们的年龄了。” 请问：主人家的楼号是______，孩子的年龄是______。 （唐山市第四届小学数学竞赛试题）
讲析:因小孩的年龄一般在15岁以下，可将72分为三个小于15的自然数之积： 72=1×6×12=1×8×9 =2×3×12=2×4×9 =2×6×6=3×3×8 =3×4×6。
以上七种分法，每组中三个因数之和分别是19、18、17、15、14、14、13。
如果楼号不是14号，则客人立即可作出判断主人的楼号与小孩年龄。而客人无法判断，这说明楼号正是14，即三个孩子年龄之和是14。此时三个孩子的年龄为2、6、6或者3、3、8。
当看到有两个孩子很小时，就可以得出三个小孩的年龄分别为3岁、3岁和8岁。
例 3 A、B、C、D、E五人在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91分的整数。如果A、B、C的平均分为95分，B、C、D的平均分为94分；A是第一名；E是第3名得96分，那么D得______分。 （1992年全国小学数学奥林匹克决赛试题）
讲析：如果B是第二名，或者并列第一名，由于E是第三名得96分，所以A、B的得分都应不少于97分。而A、B、C的平均分为95分，则C最多为91分，与题目条件矛盾。所以，B不是第二名；同样C也不是第二名。 因此，D是第二名。B、C、D的平均分比A、B、C的平均分少1分，所以A比D多3分。 即，A得100分，D得97分。
例4 某次考试有52人参加，共考5道题，每题做错的人数统计如下：
每人都至少做对一道题，做对一道题的有7人，5道题全对的有6人，做对2道题和3道题的人数一样多，那么做对4道题的人数是______人。
（1993年全国小学数学奥林匹克总决赛第一试试题） 讲析：52人考试，每人五道题，共计