持同一符号，则f?x?在?a,b?上保持同一单调性。 3 可能的单调区间分界点：驻点或不可导点。 4 连续函数f?x?讨论单调性方法
1） 求出全体可能的单调区间分界点：驻点和不可导点
2） 1）求出的点将给定的定义域分成n个小区间，在每一个分得的小区间内讨论导数符号。 若f??x??0，则在包含该小区间的连续端点的小区间上f?x?单调增加； 若f??x??0，则在包含该小区间的连续端点的小区间上f?x?单调减少。 【例】已知函数y?x3?x?1?2，求函数的单调区间。
5 利用单调性证明不等式 【例】 证明
lnx?lna1?,?x?a?0?
x?aaxxa?，对于?x?a， ax2证明 设f?x??lnx?lna?11a1?aa?1?a??f?x??????1?2????1??0， ???????x2ax2xxxxx2ax?2ax???又f?x?在?a,???上连续，所以f?x?在?a,???上单调减少。
即对于?x?a，有lnx?lna?xxa??f?a??0成立。 ax【例】证明：当x?0时，e?1??1?x?ln?1?x? 【例】设e2224b?a? 2?e6 利用单调性+零点定理判定方程根的个数
【例】讨论方程lnx?ax（其中a?0）有几个实根？ 解 设f?x??lnx?ax，则f??x??讨论函数的单调区间
x 1?ax1，令f??x??0得驻点x? xa?1?,???? a??? ?1??0,? ?a?y? ? t?又limf?x??lim?lnx?ax????；limf?x??lim?lnx?ax?x?0?x?0?x???x????lim1x?tlnt?a???
t?0?t（因为limtlnt=limt?0?lnt=lim??t??0?lim??tlnt?a???a）
t?0?t?0?1t?0?t当f??1??1，即时，方程无实根 ?0a?e??a?当f??1??1?=0，即a=e时，方程有唯一实根 ?a?当f??1??1??0，即a?e时，方程有两个实根。 ?a?三 连续曲线的凹凸性 1 连续曲线凹凸定义
（1）设函数f?x?在区间I上连续，若对区间I上任意两点x1,x2，恒有
?x1?x2?f?x1??f?x2?f? ??22??称函数f?x?在区间I上是上凹函数（或下凸函数）。
（2）设函数f?x?在区间I上连续，若对区间I上任意两点x1,x2，恒有
?x1?x2?f?x1??f?x2?f? ??22??称函数f?x?在区间I上是上凸函数（或下凹函数）。 2 判定连续曲线凹凸性定理
若函数y?f?x?在区间I上连续，在I内二阶可导，
（1）若?x?I内，f???x??0，则曲线y?f?x?在I上是凹的。 （2）若?x?I内，f???x??0，则曲线y?f?x?在I上是凸的。 3拐点定义 连续曲线弧上的凹弧与凸弧的分界点叫拐点。
注 拐点是平面上的点，所以拐点的坐标为?x0,f?x0??。
4二阶可导函数拐点必要条件：设f???x0?存在，且x0,f?x0?是拐点，则f???x0??0。
??5 连续曲线可能的拐点横坐标：使f???x??0的x或使f???x?不存在的x 6 求连续曲线弧拐点方法
f???x0??0或f???x0?不存在，且f???x?在?x0??,x0?及?x0,x0???内函数值异号，
则x0,f?x0?是拐点。 7连续曲线讨论凹凸性方法
1） 求出全体可能的凹凸区间的分界点：f???x??0的x和f???x?不存在的x。
2） 1）中所求出的点将给定的定义域分成n个小区间，在每一个分得的小区间内讨论二阶导符号。若f???x??0，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线y?f?x?是凹的 若f???x??0，则在包含该小区间的连续端点的小区间上曲线y?f?x?是凸的。 【例】讨论函数y?lnx?1?x2的凹凸性。 8利用函数凹凸性证明不等式
【例】证明不等式 xlnx?ylny??x?y?ln四 函数的极值 1极值定义
????x?y 2注 1）极值是邻域性概念；
2）若f?x0?是极大值，意味着?U?x0,??，在U?x0,??内f?x0?是最大函数值，其它函数值都比f?x0?小；若f?x0?是极小值，意味着?U?x0,??，在U?x0,??内f?x0?是最小函数值，其它函数值都比f?x0?大。
2可导函数取极值的必要条件 f?x?在x?x0可导，且取极值，则必有f??x0??0 3可能的取极值点（驻点，有定义的不可导点） 4判定极值点的方法 1）极值定义
2）取极值的第一充分条件：设函数f?x?在x0处连续，且在U?x0,??内可导。若
0x??x0??,x0?，f??x??0（或f??x??0），x??x0,x0???，f??x??0（或f??x??0），
则函数f?x?在x0处取得极大值（或极小值）。若x?U?x0,??，f??x?的符号不变，则函数
0f?x?在x0处不存在极值。
3）取极值的第二充分条件：设函数f?x?在x0处有二阶连续导数，且f??x0?=0,f???x0??0
当f???x0??0，f?x0?是极小值；当f???x0??0，f?x0?是极大值； 【例】设limx?af?x??f?a??x?a?2??1，则在x?a处
（A）f?x?的导数存在且f??a??0 （B）f?x?的导数不存在
（C）f?x?取得极小值 （D）f?x?取得极大值 【 】 【例】设函数f?x?满足方程3f?x??4xf??2?1?7求函数f?x?的极小值与极大值。 ???0，
?x?x??1?4?3f??x??x2???解 首先求f?x? ??3f?x??4x2f??4f?x??7x?0?1?7?????0?x?x?f?x?33?4x?
x33?4x?1?22?fx?0f??x??12x?2?x??，令得驻点，无有定义的不可导点。 ??xx22又f???x??24x?62466?1?24?1?????f???0f?????0 ，，????3x2222?222?2???1??=42，极大值为?2??1?f?????42。
2??所以函数f?x?的极小值为f?五 求函数的最值
1闭区间上连续函数求最值方法
1） 求出函数所有可能的取最值的点：闭区间的端点，区间内部的驻点及不可导点 2） 求出f?端点?，f?驻点?，f?不可导点?
3） 比较2）中函数值的大小，其中最大的值为所求函数的最大值，最小的值为所求函数的
最小值。
注意： 所求的驻点和不可导点一定是给定区间内部的点。若不是，舍去。 【例】求函数f?x??2x?3x?72x+108在??2,6?上的最大值与最小值。
32???解 f?x??????3??2x3?3x2?72x?108x???2,?2???3??2x3?3x2?72x?108x??,6??2?
???f??x??????3??6x2?6x?72x???2,?2???3??6x2?6x?72x??,6??2?
令f??x??0，得驻点x1??3（舍），x2?4，且不可导点为x3?计算f??2?,f?3 2?3??,f?4?,f?6?比出最大值与最小值。 ?2?2开区间内可导函数求最值
设f?x?在开区间?a,b?内可导，x0??a,b?是f?x?在?a,b?内唯一驻点，若f?x0?是极小值，则f?x0?是f?x?在?a,b?内的最小值；若f?x0?是极大值，则f?x0?是f?x?在
?a,b?内的最大值。
【例】要设计一个容积为常量V的圆柱形水池，已知底的单位面积造价是侧面的一半，问如何设计，才能使水池的造价最低。 3利用最值证明不等式
【例】设函数f?x?在?2,???上可导，且f?x??0，又xf?x????kf?x?。证明：
??f?x??Ax?k?1，其中A?f?2?2k?1
六 渐近线 1水平渐近线
若limf?x??b，则y?b是函数y?f?x?的左侧水平渐近线
x???x???limf?x??b ，则y?b是函数y?f?x?的右侧水平渐近线
x???limf?x??b，则y?b是函数y?f?x?的水平渐近线
2铅直渐近线
?x?x0limf?x???，或lim+f?x???，或limf?x???，则x?x0是函数y?f?x?的
x?x0x?x0铅直渐近线
函数y?f?x?在间断点x0及定义区间的有限端点x0处才有可能有铅直渐近线。 3斜渐近线
设函数y?f?x?，直线y?ax?b，
f?x???ax?b??若lim???0，y?ax?b叫函数y?f?x?的右斜渐近线。 x????若lim?f?x???ax?b????0，y?ax?b叫函数y?f?x?的左斜渐近线。 x????若lim??f?x???ax?b????0，则y?ax?b叫函数y?f?x?的斜渐近线。
x??求斜渐近线方法 （1）左斜渐近线a?limf?x?xf?x?xx???f?x??ax?，b?lim?? x????f?x??ax?，b?lim?? x?+??（2）右斜渐近线a?limx?+?（3）斜渐近线a?limx??f?x?x，b?lim??f?x??ax??
x??注 在同一侧，水平渐近线与斜渐近线不能同时存在。 【例】设曲线y?x?x2?x?1，求该曲线的渐近线
七 弧微分，曲率的概念，曲率圆与曲率半径 1弧函数定义 2弧微分 3曲率定义
y??d?2y??1??y??d?dx???4曲率计算公式：K?2dsds21??y??1??y??dx??32
5曲率圆与曲率半径定义 6曲率半径计算公式：??1 Kx上任一点M?x,y??x?1?处的曲率半径，S?S?x?是
【例】设????x?是抛物线y?点M到原点的距离，求
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