20．（本小题共14分）设b>0,数列?an?满足a1=b，an?（1）求数列?an?的通项公式；
nban?1(n?2).
an?1?2n?2bn?1（2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1
2
21.（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy上，给定抛物线L:y?12x.实数p,q满422足p?4q?0，x1,x2是方程x?px?q?0的两根，记?(p,q)?maxx1,x2。
??（1）过点A(p0,12p0)(p0?0)(p0≠ 0)作L的切线交y轴于点B。证明：对线段AB4上任一点Q(p，q)有?(p,q)?
p0； 2 6
（2）设M(a，b)是定点，其中a，b满足a2-4b>0,a≠0。过M (a，b)作L的两条切线l1,l2，切点分别为E(p1,121p1),E?(p2,p22)，l1,l2与y轴分别交与F,F'，线段EF上异于44两端点的点集记为X ．证明：M(a,b) ?X ?P1?P2??(a,b)?
（3）设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥
p1； 215(x+1)2-}，当点(p,q)取遍D时，求?(p,q)的最小44值 （记为?min）和最大值（记为?max）.
7
2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）答案
数学（理科）试卷类型：A cbw
一、选择题
题号 １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ 答案
B
C
D
A
C
D
B
A
二、填空题 ９. [1,??)； 10. 84；
11. 10；
12. 2；
13.
185； 14. (1,255)； 15.
35；
三、解答题 16．解：(1)f(5?54)?2sin(?12??6)?2sin?4?2; (2)f(3???2)?2sin??1013，?sin??513，又??[0,?122]，?cos??13，f(3??2?)?2sin(???2)?2cos??635，?cos??5， 又??[0,?2]，?sin??45， cos(???)?cos?cos??sin?sin??1665.
17．解：（1）乙厂生产的产品总数为5?1498?35； （2）样品中优等品的频率为
25，乙厂生产的优等品的数量为35?25?14； （3）??0,1,2， P(??i)?Ci2?i2C3C2(i?0,1,2)，?的分布列为 5?
0 1 2
P
33110 5 10 均值E(?)?1?315?2?10?45.
8
18.解：(1) 取AD的中点G，又PA=PD，?PG?AD，
由题意知ΔABC是等边三角形，?BG?AD， 又PG, BG是平面PGB的两条相交直线，
P F ?AD?平面PGB，
EF//PB,DE//GB，
G DCB
E Ｓ
?平面DEF//平面PGB， ?AD?平面DEF
(2) 由（1）知?PGB为二面角P?AD?B的平面角，
在Rt?PGA中，PG?2217t?BGA2?()2?；在R24A
Ｓ Ｓ
Ｓ
中，BG?1?()?221223； 4PG2?BG2?PB221在?PGB中，cos?PGB?. ??2PG?BG7
19．解：（1）两圆半径都为2，设圆C的半径为R，两圆心为F 1(?5,0)、F2(5,0)，
由题意得R?|CF1|?|CF2|?2或R?|CF2|?|CF1|?2，
?||CF1|?|CF2||?2?25?|F1F2|，
x2y2可知圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线，设方程为2?2?1，则
aby2?1．所以轨迹L的方程为x? 2a?2,a?1,c?5,b?c?a?4,b?2，
42222（２）
(3521452)?()?1，?M?L， 545||MP|?|FP||?|MF|，仅当点P是直线MF与双曲线L的交点时，取＂＝＂，
由kMF??2知直线MF与渐近线y??bx??2x平行， a所以直线MF与双曲线L只有一个交点M，又|MF|?2， 所以当点P与M重合时，||MP|?|FP||最大，等于2，此时P(
3545,)． 55 9
20．解（１）法一：
anban?1nan?1?2(n?1)12n?1，得， ?????nan?1?2(n?1)anban?1bban?1设
21n?bn，则bn??bn?1?(n?2)，
bban222?(bn?1??)，则bn??bn?1??(?1)， bbb设bn???令?(211121?1)?，得????(bn?1?)(n?2)， ，?bn?bb2?b2?bb2?b11112?(b1?)?()n?1，又b1?， 是等比数列，?bn?b2?b2?b2?bb知bn?12n112n?bnnbn(2?b)?bn??()???，?an?． nnn2?bb2?b2?bb2?b2b22b2(b?2)3b33b3(b?2)?2?3法二：a1?b，a2?，a2?2， 23b?2b?2b?2b?4b?2nbn(b?2)猜想an?，下面用数学归纳法证明： nnb?2①当n?1时，猜想显然成立；
kbk(b?2)②假设当n?k时，ak?，则 kkb?2ak?1(k?1)b?ak(k?1)b?kbk(b?2)(k?1)bk?1(b?2)， ??k?kkk?1k?1ak?2(n?1)kb(b?2)?2k?(b?2)b?2所以当n?k?1时，猜想成立，
nbn(b?2)由①②知，?n?N*，an?．
bn?2n（２）b2n?22n?2b2n?22n?2n?1bn，
b2n?1?2?b?22n?1?2b2n?22n?2n?1bn，
,bn?1?2n?1?bn?1?2n?1?2b2n?22n?2n?1bn，以上n个式子相加得
b2n?b2n?1?2??bn?1?2n?1?bn?1?2n?1??b?22n?1?22n?n?2n?1bn，
n?2n?1bn(b?2)[(b2n?b2n?1?2?an?n?1n?n2(b?2)?(b2n?b2n?1?2??b?22n?1?22n)?bn?2n](b?2) n?1nn2(b?2)?b?22n?1?22n)(b?2)?bn?2n(b?2)
2n?1(bn?2n) 10