高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。放缩法证明不等式有法可依，但具体到题，又常常没有定法，它综合性强，形式复杂，运算要求高，往往能考查考生思维的严密性，深刻性以及提取和处理信息的能力，较好地体现高考的甄别功能。本文旨在归纳几种常见的放缩法证明不等式的方法，以冀起到举一反三，抛砖引玉的作用。
一、 放缩后转化为等比数列。
例1. {bn}满足：b1?1,bn?1?bn2?(n?2)bn?3 （1） 用数学归纳法证明：bn?n （2） Tn?解：(1)略
(2) 又
11111，求证：Tn? ???...?23?b13?b23?b33?bnbn?1?3?bn(bn?n)?2(bn?3) bn?n
* ?bn?1?3?2(bn?3) ， n?N 迭乘得：bn?3?2n?1(b1?3)?2n?1 ?11?n?1,n?N* bn?321111111???...???? 234n?1n?12222222 ?Tn?点评：把握“bn?3”这一特征对“bn?1?bn2?(n?2)bn?3”进行变形，然后去掉一个正项，这是不等式证明放缩的常用手法。这道题如果放缩后裂项或者用数学归纳
法，似乎是不可能的,为什么？值得体味！ 二、放缩后裂项迭加
例2．数列{an}，an?(?1)求证：s2n?解：s2n?1?n?11，其前n项和为sn n2 211111???...?? 2342n?12n 6
令bn?1，{bn}的前n项和为Tn
2n(2n?1)1111?(?)
2n(2n?2)4n?1n当n?2时，bn??s2n?Tn? ?111111111111???(?)?(?)?...?(?) 212304344564n?1n712 ??104n2点评:本题是放缩后迭加。放缩的方法是加上或减去一个常数，也是常用的放缩手
法。值得注意的是若从第二项开始放大，得不到证题结论，前三项不变，从第四项开始放大，命题才得证，这就需要尝试和创新的精神。
例3.已知函数f(x)?ax?b?c(a?0)的图象在(1,f(1))处的切线方程为 xy?x?1
（1）用a表示出b,c
（2）若f(x)?lnx在[1,??)上恒成立，求a的取值范围 （3）证明：1?解：（1）（2）略
（3）由（II）知：当a?111n??...??ln(n?1)? 23n2(n?1)1时,有f(x)?lnx(x?1) 2111令a?,有f(x)?(x?)?lnx(x?1).
22x11且当x?1时,(x?)?lnx.
2xk?1??11k?1k111,有ln?[?]?[(1?)?(1?)], 令x?kk2kk?12kk?1111),k?1,2,3,?,n. 即ln(k?1)?lnk?(?2kk?1将上述n个不等式依次相加得
ln(n?1)?整理得
11111?(????)?, 223n2(n?1)1?111n?????ln(n?1)?. 23n2(n?1) 7
点评：本题是2010湖北高考理科第21题。近年，以函数为背景建立一个不等关系，然后对变量进行代换、变形，形成裂项迭加的样式，证明不等式，这是一种趋势，应特别关注。当然，此题还可考虑用数学归纳法，但仍需用第二问的结论。 三、 放缩后迭乘 例4．a1?1,an?1?1(1?4an?1?24an)(n?N*). 16（1） 求a2,a3
（2） 令bn?1?24an，求数列{bn}的通项公式
（3） 已知f(n)?6an?1?3an，求证：f(1)f(2)f(3)...f(n)? 解：（1）（2）略
1 221n1n1()?()? 342313231 ?f(n)?n?n?2?n?n?1?1?n
42424111211(1?n)(1?n?1)1?n?n?2n?11?n1444444 1?n???11141?n?11?n?11?n?144411?n4?f(n)?11?n?14
11111?1?21?n1?n4?4...4?4?1 ?f(1)f(2)...f(n)?1?11?11?12244n?1 由（2）得an? 点评：裂项迭加，是项项相互抵消，而迭乘是项项约分，其原理是一样的，都似多
米诺骨牌效应。只是求n项和时用迭加，求n项乘时用迭乘。
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