19. （Ⅰ）
（Ⅱ）
20. （Ⅰ）
（Ⅱ）
21. （I）
(II)
22. （Ⅰ）
（Ⅱ）
陕西省师大附中2019届高三第五次模拟考试
数学理答案
一.选择题 题号 1 答案 C 二.填空题 13.
2 C 3 A 4 A 5 B 6 D 7 A 8 D 9 D 10 A 11 B 12 A 12.; 14. ?; 15. 15; 16. a?2,b可以填写任意实163数
三、解答题 17．（Ⅰ）
(Ⅱ)g(x)?f(x)?f(?x)?2sin(?8x??4)?1?2sin(??8x??4)?1
?2sin(?8x??4)?2sin(?8x??4)?2?22cos?8x?2
由g(x)?22cos?8x?2?0得cos?8x???32,从而x????2k?,即
842x?16k?6,k?Z.所以,函数y?g(x)与x轴交点的横坐标为16k?6,k?Z.
12分
18.由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别为5、25和20． （I）该班学生参加活动的人均次数为x=
1?5?2?25?3?2011523??． 3分
505010（II）从该班中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为
22C52?C25?C2020． 6分 P0??249C50（III）从该班中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”
为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次活动”为事件B，“这两人中一人参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C．易知
1111C5C25C25C2025； 8分 P(??1)?P(A)?P(B)???2249C50C5011C5C204. 10分 P(??2)?P(C)??249C50?的分布列：
? 0 1 2 P 20 4925 494 49?的数学期望：E??0?2025433?1??2??． 1249494949分
19．（Ⅰ）∵AD=2AB=2，E是AD的中点，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形， 易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC， ∴BE⊥面D′EC，又CD′?面D′EC，∴BE⊥CD′ 6分 （Ⅱ）法一：设M是线段EC的中点，过M作MF⊥BC 垂足为F，连接D′M，D′F，则D′M⊥EC ∵平面D′EC⊥平面BEC，∴D′M⊥平面EBC， ∴MF是D′F在平面BEC上的射影，
由三垂线定理得：D′F⊥BC，∴∠D′FM是二面D′—BC—E的平面角.
在Rt△D′MF中，D?M?D?M1211an?D?FM??∴tEC?,MF?AB?。
MF22222，
即二面角D′—BC—E的正切值为2. 12分 法二：如图，以EB，EC为x轴，y轴，过E垂直于
平面BEC的射线为z轴，建立空间直角坐标系，则
B(2,0,0),C(0,2,0),D?(0,22,) 22设平面BEC的法向量为n1?(0,0,1)；平面D′BC的法向量为n2?(x2,y2,z2)
BC?(?2,2,0),D?C?(0,22,?), 22
??2x2?2y2?0?n?BC?0?2???2由?.取x2?1,得n2?(1,1,1), 2?y2?z2?0?n2?D?C?0?2?2∴cos?n1,n2??n1?n2|n1|?|n2|?3?tan?n1,n2??2。 3∴二面角D′—BC—E的的正切值为2.
x2y2a2?b2220. (Ⅰ）设C方程为2?2?1(a?b?0)，则b = 1.?.即a2?2. 2ab2ax2?y2?1. …………………………………………………6分 ∴椭圆C的方程为 2（Ⅱ）假设存在直线l,使得点F是?BMN的垂心.易知直线BF的斜率为?1，从而直线l的斜率为1.设直线的方程为y?x?m，代如椭圆的方程，并整理可得
42m2?2则x1?x2??m，x1x2?.3x?4bx?2(b?1)?0.设M(x1,y1),N(x2,y2)，
3322于是
NF?BM?(1?x2)x1?y2(y1?1)
?x1?y2?x1x2?y1y2?x1?x2?m?x1x2?(x1?m)(x2?m) 2m2?24m??2x1x2?(1?m)(x1?x2)?m?m??2??(1?m)(?)?m?m2?0332解之得m?1或m??4/3.
当m?1时，点B即为直线l与椭圆的交点，不合题意.当m??椭圆相交，符合题意. 所以，当且仅当直线l的方程为y?x?心. 12分
21. （Ⅰ）注意到当a?0时, 直线t??4时，经检验知l和34时, 点F是?BMN的垂31是抛物线af(t)?12at?t?a的对称轴，分以下几种情况讨论. 2(1) 当a>0时，函数y=f(t), t?[2,2]的图象是开口向上的抛物线的一段， 由t??1<0知f(t)在[2,2].上单调递增，∴g(a)?f(2)?a?2. a