就像刚才那位学生举的反例，个最高的人不一定跑得最快，在这场比赛中，个最高的人并没有拿第一名，而刘易斯拿了第一名。
过程二，用100米跑的步数m1，…，m6与时间t1，…，t6的比可以算出每个人的步频。 步频，每个人1秒钟跨了多少步。如果跨了150步，总共用9秒8，两数一除，我就知道1秒钟跨了多少步。有了步数，有了时间就可以算出步频。
于是有的学生猜测步频越大，跑得越快，结果发现，总体的状况是这样，步频比较高的人，他跑的成绩是比较好的。
一个人跑得快，都受哪些因素影响呢?是由2个因素影响的，步距与步频。这里出现是所谓的二元函数问题，这就是美国小学六年级讨论的问题。我不知道我们的老师怎么想，我们的学生在五、六年级在做什么?他们美国的学生在做什么?
从这两个例子可以看出，我们的重心和他们的重心不完全一样。第一，学生可以很好地理解现实生活。如一个人跑得快慢最主要的因素是步距和步频，像这样的问题应该谁来研究?在我们国家应该是田径教练来研究，但它是美国小学数学六年级研究的题目。第二，学生更好地理解了数学。什么是数学，数学就是探索生活中的各种关系，建立模型，总结出规律。(二元函数就是一种模型，它有效地描述了现实生活中两个因素的关系)在这一过程中，学生更好地理解数学——一个探索的过程，有了这一过程，对现实生活的理解，对数学的理解才会更深刻。
4.走的不是一条道(看看他们的试卷) 在探索数学的过程中，让学生的基本能力和基本情感价值观自然形成。为了更好地说明这个问题，我这有一个材料，这个材料是美国纽约州立大学的一位教授七月份寄给我的，他负责纽约州四年级和八年级的测验，曾参加过全美数学课程标准的制定，他寄的是四年级和八年级的测验材料，这是人家的试卷，他们的卷面有什么呢?
第一道题是计算题227+14，让你选择，有五个答案供你选择；第二道题是4×116也给你五个选择答案。
在此之后剩下的几十道题中你再也找不到计算题了。
我们再看这道题：投标，扔到中间就得100分，扔到周围的圈里是10分，扔到外围的就是1分。有个小孩扔了12次，12次的情况都打在靶子上，扔到中间有3次，扔到周围圈的是4次，扔到外围的是5次，加起来是?选择答案(345分)。这次让学生在具体的情景之中作答。 像这样的题已经找不到我们常规计算题的影子了。
我们再看这道题；在这个罐子里面大概有40个小球，让学生去估算下面另一个罐子里的玻璃球，下面的高度相当于上面的3倍。上面是40个，下面相应的就是120个，是上面的3倍。
还有一道题目是这样的，一个盘子，里面堆了许多爆米花，有32个，看盘子中爆米花分布的样子也就占1/4，问如果把这个盘子装满的话，大概可以装多少爆米花?(32×4) (给一个题材，让学生去估算。)
像这样的让学生在现实情景的体验中做的题目还有许许多多，如这样的题材：一个小朋友有6种不同颜色的彩笔，他用了其中1支彩笔给某个图形涂颜色，他用了哪支彩笔呢?这里有三个条件：第一，它的字母至少在3个以上，6个以下；第二，这个彩笔不在red旁边；第三，这支彩笔不是最后一个。请你猜出是哪一个。它们的颜色有yellow,red,blue,tan,pink,green,6支彩笔都有名称，并且都画在彩笔上。
这支彩笔字母至少在3个以上，6个以下，这样就把red,tan排除，把yellow排除了。然后又说这只笔不在red旁边，所以把blue也排除，第三个条件说这支彩笔不是最后一个，所以最后找到了pink。
猜出后又问：他用的是哪支彩笔并说明你的理由，要求小学四年级学生进行推理的训练。
这样的问题后面还有好几道，他们不是不要求推理，只是这种推理用的是对于现实问题的推理。
像这样的试卷题目是很容易引出问题来的，这里面就有发现规律，发现模式的问题。学生可以有自己的理解，只要你能把它做出来，有合理的解释就可以，在这个过程中大大发挥了学生思维的灵活性，大大拓展了学生的思维空间。 5.谁优谁劣
从这里面可以发现，我们数学所评估的内容，跟他们对数学的理解，发生很大的差别，大家不在同一个轨道上进行数学教育，所以在这种情况之下我们简单地比较谁好谁不好，这是很难下结论的。最后简单做一个归结。 (1)我们的优势与不足
在这个比较基础上，我们可以看到，中西方的数学教育各有它的优势，我们的优势表现在两个方面：
第一，我们学生的基础知识和基本技能扎实，我们几十年的数学教育一直强调的是双基。 第二，我们的学生对数学有一种勤奋和刻苦精神，这是我们学生所独有的，这是东方文化所具有的优势。一分辛勤一分收获。中国学生在数学上的勤奋与刻苦，这是西方的同龄人不可比的，这就是我们的两个优势。
但在有些方面表现出明显的不足，大概有这么几个方面： 第一，我们学生的基本实践、操作比较弱。
第二，我们学生将书本知识加以应用的能力比较弱。 第三，我们学生的创造性比较缺乏。
再有，我们学生的自尊心还没有得到保证，自信心得不到发展，没有形成足够的自主精神。 (2)做一个比较
我们的学生优势是基础知识、基本技能，是勤奋和刻苦，跟西方做比较，我们的优势正好是他们所不具备的，而我们不具备的正好是他们的优势，如果从文化背景比较来看，我们东西方的差异不存在谁优谁劣的问题。
①从未来社会发展来看我们学生优势的价值在下降
从未来的社会发展来看，随着计算机、计算器的出现，建立在计算机基础上的信息时代，我们学生所具备的优势，它的地位、价值在下降。我们学生基础知识很优秀，掌握得非常好，但是你再好，也没有计算机里贮存的信息量来得大，你算得再快，在现代的高科技领域也不需要，因为计算机比你算得更快。复杂的事情交给电脑去做，电脑是人脑的延伸，电脑做的是人脑不擅长的，一些简单的、重复性的、比较枯燥的工作是电脑可以做的，而人脑应该腾出来做具有创造性的工作。所以从计算机出现之后，我们基础教育所具有的优势越来越失去它的价值，而我们不足的方面正好是未来社会对公民最需要的最基本的素质。 ②西方人所具备的优势正好符合了社会发展的需要 随着时代的发展，未来社会对公民的修养需求越来越集中在：人的实践能力，人的应用能力，人的创造性，特别是人的自尊自信、自主精神。这些事情比什么都重要，这是计算机所不能比拟的、替代的事情，这才是我们基础教育要着力培养的东西。而反过来，我们看西方的基础教育，西方基础教育的不足，正好是计算机可以帮助的，5×7不会，计算机可以帮他算，8×7＝54，计算可以帮他矫正，49是多少不知道，他按计算器就可以算出来，虽然他的基本技能很差，但有计算机帮他，也就是说，随着时代的发展，西方人不足的方面，他们的问题严重性，可能不像所想象的那么严重，而他们所具备的优势，正好符合了社会发展的需要，因此从这个角度讲，从未来的信息时代对公民修养的基本需求这个角度上讲，中国人的基础教育面临的问题更大。因此要加速我们基础教育的改革，包括我们的数学教育，这是我做的一个简单的小结。
五、与新一轮数学课程改革有关的一些问题 1.人的基本计算技能还需要保留
不是说计算机出现了我们的基本功就不要了。我想计算机再发达，人的基本计算技能还需要保留。什么是最基本的计算技能呢?我想是在100以内的加减乘除都应保留。 你再发展，你能说49不知道等于多少?5×7＝?等于多少不知道?社会再发达，计算机再发达，7×8等于54，这样的现象在中国这个文化背景下不应该让它产生。最基本的运算还让它保留，就跟我们经常打的比方一样：我们的交通工具再发达，但是人还要具备一个从自己的家能够走到车库的步行能力。我们不能因为交通工具发达，我们步行的基本技能都不要了，就等着车停到床旁边了。大概这样发展不是人有理智的发展。计算机再发展，说7×8都不会，应该说是个问题。应该有个度。
100以内的加减乘除如果学生能够掌握，在这基础上应该让学生尽快地摆脱基本计算，做一些更有意义的、更具有挑战性的数学问题。以往的小学数学只停留在20以内的循环圈、100以内循环圈、1 000以内循环圈、10 000以内循环圈、1亿以内循环圈，然后小数循环圈、分数循环圈，其实不应该是这样的。100以内加减乘除掌握以后应该进行更有价值的数学学习。
2.进行更有价值的数学学习 所谓有价值的数学学习很多，我想看过我们教材的老师都知道，我们的教材把数学分为几个领域：数、量、几何、统计、运用数学解决问题，学会解决问题。 我们把小学的数学分为几个方面，而且从小学一年级起就开始贯穿，从小学一年级就有统计、图形与空间、量与测量、数与计算，一年级就培养解决现实问题的能力。把传统的应用题统统取消，不按传统那样分成一步应用题，二步应用题，三步应用题，也不分成加乘应用题，也不分减除应用题。我们就按现实问题的发展，学生的基本运算学到哪一步，相应的运用到哪一步，不把数与应用分开。让我们的学生具备基本的计算能力之后，应该尽快地引导他研究更多的、更复杂的、更有价值的数学问题，这是我们的一个思路。 3.多元、多维和注重过程的评价标准
在新的课程标准中要明确提出学生的学习质量标准，绝对不能单纯依靠最后的试卷，要鼓励老师进行多元的、多维的评价。
评价当中有三个词：多元、多维、过程——评价目标的多元，评价角度的多维，评价注重过程。评价当中很主要的是看你的多元、多维和过程，而不是仅仅看最后一张试卷。最后一张试卷是一元的。如果我既关注知识，又关注他的能力、关注他的情感，这就是多元的。如果我不只关心他的计算，还关心他的统计，同时关心他解决问题，这就是多维的。而且我从不同的角度（从作业、发言、讨论等方面），进行多维的、多角度的评估，并且我更关注他平时的发展。我们要倡导这样的评估标准，把我们的教师和学生从最后一张试卷中解脱出来。 4.有关课程标准的几个问题
我们受教育部的委托做全国的课程标准。这个课程标准的时间表大家可能知道了。今年四月份的《小学数学教师》杂志全文刊登了这个材料，包括时间表，包括我们对新一轮数学课程改革发展的基本走向。希望更多的人关注中小学数学课程改革，希望更多的有识之士来发表意见，使得我们新一轮课程改革做得更好。在这个初步设想里面，一些对数学理念的看法，对学生的看法，对评价的看法以及对九年从小学到初中毕业的基本内容的看法，都已在杂志上有所说明。
在各省市召开过座谈会，在座谈会的基础上召开过数学家座谈会、心理学家座谈会，十月份再开一个大规模的研讨会。在这个基础上我们具体起草课程标准，取代过去教学大纲。新的中小学数学标准写出来后，我们要把新的课程标准向全社会再一次发布。
我们今年年底做完初稿，明年年底向社会征求意见，2000年6月至8月进行修订，明年下
半年就要讨论通过，争取明年年底，向全国发布中小学数学课程的实验方案。从初稿到修订稿，最后叫实验稿。这个实验稿在各省市开展课程改革实验，鼓励大家都来编教材，然后开展新一轮的数学课程改革。这是一个大致的时间表，关于新一轮的数学课程改革我想大致就谈这么多。
六、革新我们的教学 1.老师的困惑
什么样的教学是一个好的数学教学，要有一个教学标准。我们老师在课堂上教得好坏，由我们的学校、教导主任、教研员来裁定的。究竟什么是个好的数学教学?这件事情很值得思考。我们老师会遇到这样的困惑，当我们进行教学的时候，我们自己有些想法，教研员不同意，学校校长不同意，你不能这样，你要把道理讲清楚，就像我们举的若干例子。可能想做一个改革，但是我们遇到来自学校或者来自教研部门的一些不同意见时怎么办?
我们国家在教学上形成一些基本固定的看法。一堂课由这几个部分组：第一步复习旧课，第二步引入新课。教案在教参里面写得很清楚。我们老师给我提了一个问题，将来的教案怎么写?我们希望我们教案不要这样写，那种形式主义的教案少写。我们现在的教案：有教学目的，目的里面又有知识目标、能力目标、思想教育目标，有教材重点、难点分析，有基本的教学过程。教参上都写得清清楚楚。很多地方都是形式主义，课堂教学是否活生生的，在课堂里面会遇到什么事情，很多情况是我们老师无法事先想到的。我们教师应把重心首先关注在课堂上，而不是关注我那个教案写的是什么。 2.我们的数学教学
我们的数学教学是什么，首先是复习，第二步是引入新课，第三步是重点、难点的讲解，然后进行巩固，最后小结，加上布置作业。这样一种课堂教学模式导致什么?我也遇到这样的课，老师上课了，最后这节课快要讲完了，准备小结了，一看表还剩5分钟，说：“同学们，今天我们学了什么?”班上一个同学举了手。
这个时候，老师通常不希望学生举手的，特别是有人听课。因为学生一回答问题，这节课就讲不完了，小结、作业就没时间做了。所以这个老师遇到这种情况，就装作看不见。 恰巧那个学生坐在中间，举着的手特别碍眼，往哪边转都能看见，很多人在听课，这事不管，也不是那么回事，然后老师一边小结，一边走过去，把那个同学的手给按下去。按完之后，老师转身一看，这个学生的手又举起来了。然后老师下课之后就埋怨，今天这个学生尽找茬，这么不“配合”。老师一生气，什么词都用。老师用“配合”!学生是配合老师上课的。我们课堂教学，应该谁是中心，谁是学习的主人，我们的老师到了关键的时候顾不上了。 3.“老病根”
我们从解放开始，课堂模式就从苏联学了完整的五环节教学法，而且有的地方前面还加了一个组织教学，在上课之前还有两三分钟的组织教学。组织教学时老师把书一放，眼睛巡视四周，学生一看老师扫视过来，马上把手放在后面。什么东西放在左上角，什么东西放在右上角，那是清清楚楚的。两手放在后面，端端正正坐好，当所有人目光都集中到老师这儿时，组织教学结束了。“同学们，上节课我们学了什么?”这个时候才算完。这是我们盛行的一种基本的教学模式。
大家知道，我们现在的老师是非常有幸的，手上有手表，可以在课堂上看时间，看5分钟差不多了，就赶快过去，讨论下一个问题。刚解放那个时候很多老师没有手表的，怎么办?为了学苏联，竟形式主义到这种程度，全校统一打铃。第一次打铃，开始上课，组织教学开始，虽然老师组织好了，同学们已经坐好，但是不行，学校没打下一个铃，还得等啊。然后又一打铃，组织上课结束，引入新课开始，因此就开始复习旧课。再一打铃，引入新课，……我们老师在有人听课时最期盼什么呢?最期盼我这儿一说下课，那边就打铃，心里那舒服，你看我这课多好，我多有教学经验，下课铃声一打响，我正好宣布下课，备课备得多好。其实
不同的人有不同的教学风格，不同的课有不同的内容，不同学生有不同学生的特点。我们要求所有学生，同一个时间段，做同一个事情。在这个过程中间，只有教师中心，只有课堂中心，只有教材中心，唯独没有学生。什么事情都重要，唯独学生不重要。 4.不再看老师的表演 我们新的课程标准中，明确地建议我们的课堂，什么样是不好的，什么样的课堂教学是好的。我们要鼓励在课堂教学中，创造性发挥好的课堂教学模式，摒弃那种形式主义做法。 我们的形式主义盛行，特别是评优课。为一节评优课，这个老师可能一个月、两个月不上课，甚至是一年、半年不上课，准备一节课，参加全省评优。经常出现这样的事情：学生集体作假，有人来听课了，我事先备好课，让学生背得滚瓜烂熟了，还要告诉学生，你们要在某些地方出点错儿，有的地方你别一下子都回答上来，然后老师针对错误进行纠正。读课文时有些地方要让学生假装读得磕磕巴巴。虽然我们的学生课文都能背下来，还要求学生那么去做。这样的课，实在太多。
我们希望，我们用这个教材搞实验，要踏踏实实按教育规律办事，我们的老师不要有任何的顾虑。我们共同研究，什么样的课堂是有利于学生发展的，我们本着这么一种精神来研究。我们希望看到的是学生遇到问题的实实在在的反映，我们的老师在课堂上遇到问题是怎样调整与处理的。我们就要这样真实的体验。我们不需要你做过多少次，准备好给别人看，看我这堂课做得多好，从头到尾，天衣无缝。这样的课堂教学，我们看到是老师的表演，我们看不到学生的活动，看不到学生的发展。 七、关于我们的新教材 1.新数学教材产生的背景 希望我们的课程教材改革，从新的教材开始能有个新的气象。在课程标准中明确提出来什么样的教材符合我们的要求：教材编写要注意哪些问题？什么教材才是好的教材？适合人发展的教材，应该具有什么样的特征？什么样的指导思想？具体的方式方法可以多样化，指导思想必需达到课程标准所达到的这种指导思想。我们老师使用的教材只是其中的一种教材，将来鼓励大学都来编教材，鼓励编多样化的教材。但是必须符合新的课程发展的教材，符合新的基本理念。在这个基础上共同发展，为我们学生提供精神食粮。 当然围绕我们的课程改革或者围绕我们将要使用的教材，有一些基本的问题还要使我们的老师了解。我们1989年开始组织项目的合作组，1992年这个项目正式立为国家社会科学青年课题，l995年这个项目通过了专家鉴定。当时主要做了理论研究，在做理论研究过程当中，从1994年开始，我们编了一套教材，叫新世纪教科书《数学》，是我们这套教材的前身，是它的第一版，现在是第二版。第一版新世纪教科书《数学》，当时在部分小学实验。因为我们这个实验跨度很大，刚开始我们的实验是非常保守的，在很小的范围之内，最早只有1 500人，3 000人，最后到7 000人。1998年，我们开始在原来基础上，把这个教材的修订版在吉林省近两万学生中使用，1999年包括大庆、福州、厦门、天津，也有一些学校参加实验，这是这个教材的背景。 2.新数学教材的特点
本套教材的基本特点有三个：密切数学与生活的联系；确立学生在数学课堂中的主体地位；发展学生的创造性。
3.要树立对新教材的自信心
值得一提的是在今年年初，大概在四五月份，《中国教育报》和《人民教育》都报道了这件事情，教育部的高等师范院校为基础教育服务第二届优秀成果奖，我们这个项目获一等奖，是所有一等奖中的第一名。我为什么要谈这事情呢?就是我们的学生学习需要足够的自信，我们的教师同样需要自信。我们的教师必须对新教材有一个足够的自信。因为这次课程改革的力度很大。在改革力度很大的情况下，如果老师没有足够的自信心，如果你经常以一种怀