试卷类型：A
广州市2013届高三年级调研测试
数 学（理 科） 2013.1
本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、
座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上. 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的. 1．已知i为虚数单位，则复数i(2?3i)对应的点位于
A．第一象限
B． 第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．已知集合A?{0,1,2,3,4}，集合B?{x|x?2n,n?A}，则A?B?
A．{0} B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2,4} 3．已知函数f??1???log2x,x?0f, 则x????x?f???的值是 ??4???3,x?0A．9 B．
11 C．?9 D．? 994.设向量a?2,x?1，b?x?1,4，则“x?3”是“a//b”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数y?f(x)的图象向右平移
?????单位后与函数y?sin2x的图象重合， 6则y?f(x)的解析式是 A．fC．f?x??cos(2x??x??cos(2x??3) B．f?x??cos(2x?) D．f?x??cos(2x?3?6) ) 3??366．已知四棱锥P?ABCD的三视图如图1所示，
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4正视图222侧视图
则四棱锥P?ABCD的四个侧面中面积最大的是 A．3 B．25 C．6 D．8
7．在区间??2,4??分别取一个数,记为a,b, ?1,5??和?x2y23则方程2?2?1表示焦点在x轴上且离心率小于的椭圆的概率为
2ab A．
1511731 B． C． D． 23232328．在R上定义运算?:x?y?x(1?y).若对任意x?2，不等式x?a?x?a?2 都成立，则实数a的取值范围是 A．?? ??1,7?? B．??,3????C．??,7???D．??,?1?????7,??
??
二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）
9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
若a3?a4?a5?12，则S7的值为
.
2开始 i?1,S?0 i?19ai?icos?110.若(ax-)的展开式的常数项为84，则a的值为 . 2x11.若直线y?2x?m是曲线y?xlnx的切线， 则实数m的值为 . 12.圆x2?y2?2x?4y?15?0上到直 线x?2y?0的距离为5的点的个数是 _ . 13.图2是一个算法的流程图，则输出S的值是 . （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
结束 S?S?aii?i?1 i?2012 是 否 输出S 14.（几何证明选讲选做题）
如图3，已知AB是⊙O的一条弦，点P为AB上一点， PC?OP，PC交⊙O于C，若AP?4，PB?2， 则PC的长是
15．（坐标系与参数方程选讲选做题）
图2 BCAPO图3第2页 共17页
?x?cos?,(?为参数), 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立已知圆C的参数方程为?y?sin??2,?极坐标系，直线l的极坐标方程为?sin???cos??1, 则直线l截圆C所得的弦长是 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分）
已知VABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a?1,b?2,B?(1) 求sinA的值； (2) 求cos2C的值. 17.（本小题满分12分）
某市A,B,C,D四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示： 中学 A C B D 人数 30 40 20 10
为了了解参加考试的学生的学习状况，该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四 所中学的学生当中随机抽取50名参加问卷调查. （1）问A,B,C,D四所中学各抽取多少名学生？
（2）从参加问卷调查的50名学生中随机抽取两名学生，求这两名学生来自同一所中学
的概率； （3）在参加问卷调查的50名学生中，从来自A,C两所中学的学生当中随机抽取两名学
生，用?表示抽得A中学的学生人数，求?的分布列.
18. （本小题满分14分）
如图4,已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是正方形，PA^面ABCD， 点M是CD的中点，点N是PB的中点,连接AM,AN,MN. (1) 求证：MN//面PAD；
（2）若MN=5,AD?3，求二面角N-AM-B的余弦值.
DABNP?3.
19.（本小题满分14分）
M图4C第3页 共17页
如图5, 已知抛物线P:y2?x，直线AB与抛物线P交于A,B两点， uuruuuruuurOA^OB，OA+OB=OC，OC与AB交于点M.
y(1) 求点M的轨迹方程；
(2) 求四边形AOBC的面积的最小值.
M
O
B
图5 20.（本小题满分14分）
ACx 在数1和2之间插入n个实数,使得这n?2个数构成递增的等比数列,将这n?2个数 的乘积记为An,令an?log2An,n?N. (1)求数列An的前n项和Sn；
(2)求Tn?tana2?tana4?tana4?tana6???tana2n?tana2n?2.
21.（本小题满分14分）
若函数f(x)对任意的实数x1，x2?D，均有f(x2)?f(x1)?x2?x1，则称函数
*??f(x)是区间D上的“平缓函数”.
(1) 判断g(x)?sinx和h(x)?x2?x是不是实数集R上的“平缓函数”，并说明理由； (2) 若数列?xn?对所有的正整数n都有 xn?1?xn?求证： yn?1?y1?1，设yn?sinxn,
(2n?1)21. 4
广州市2013届高三年级调研测试 数学（理科）试题解析 2013-1-9
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一、选择题 1. A
分析：i(2-3i)=2i-3i2=2i+3=3+2i，其对应的点为(3,2)，位于第一象限
2. D
分析：?A?{0,1,2,3,4}，?B?{x|x?2n,n?A}?{0,2,4,6,8}，?A?B?{0,2,4} 3. B
分析：f???log24. A
?1??4?1?log22?2??2，4?f??1?1??f????f??2??3?2?
9?4????分析：当a//b时，有2?4(x-1)(x+1)=0，解得x??3；
?????? 所以x?3?a//b，但a//b?x?3，故“x?3”是“a//b”的充分不必要条件
5. B
分析：逆推法，将y?sin2x的图象向左平移
?个单位即得y?f(x)的图象， 6??????即f(x)?sin2(x?)?sin(2x?)?cos[?(2x?)]?cos(?2x?)?cos(2x?)
6323661?4?5?25 ， 21??4?3?6 26. C
分析：三棱锥如图所示，PM?3，S?PDC? S?PBC?S?PAD7. B
P31??2?3?3，S?PAB235DA22N22Cx2y23分析：方程2+2=1表示焦点在x轴且离心率小于的椭圆
ab2?a2?b2?有?ca2?b23 ，
??e??aa2?MB时，
?a2?b2?a?b即?2，化简得，又a?[1,5]，b?[2,4]， ?2a?4ba?2b??画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示， 求得阴影部分的面积为8. C
分析：由题意得(x-a)?x2S阴影1515?，故P?
42?432(x-a)(1-x)，故不等式(x-a)?x?a2化为(x-a)(1-x)?a+2，
化简得x?(a?1)x?2a?2…0，
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