初三数学总复习 知识改变命运创造未来
39FN=MN?cos∠MFE=3×?。
55则ON=
1212444。∴M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），
55555123?4??k+b=?k=?设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有?55，解得?4。
???b=3?4k+b=0∴直线l的解析式为y=?33x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=?x﹣3。 4433x+3或y=?x﹣3。 44综上所述，直线l的解析式为y=?25．如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CE⊥AB于E，设∠ABC=α（60°≤α＜90°）． （1）当α=60°时，求CE的长； （2）当60°＜α＜90°时，
①是否存在正整数k，使得∠EFD=k∠AEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由． ②连接CF，当CE﹣CF取最大值时，求tan∠DCF的值． 【答案】解：（1）∵α=60°，BC=10，∴sinα=
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CECE3，即sin60°=，解得CE=53。 ?BC102（2）①存在k=3，使得∠EFD=k∠AEF。理由如下：
连接CF并延长交BA的延长线于点G， ∵F为AD的中点，∴AF=FD。
在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠G=∠DCF。 在△AFG和△CFD中，
∵∠G=∠DCF，∠G=∠DCF，AF=FD， （AAS）∴△AFG≌△CFD。∴CF=GF，AG=CD。 ∵CE⊥AB，∴EF=GF。∴∠AEF=∠G。
∵AB=5，BC=10，点F是AD的中点，∴AG=5，AF=
11AD=BC=5。∴AG=AF。 22∴∠AFG=∠G。
②设BE=x，∵AG=CD=AB=5，∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x， 在Rt△BCE中，CE=BC﹣BE=100﹣x。
在Rt△CEG中，CG=EG+CE=（10﹣x）+100﹣x=200﹣20x。 ∵CF=GF（①中已证），
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∴CF=（
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12121CG）=CG=（200﹣20x）=50﹣5x。 2442
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∴CE﹣CF=100﹣x﹣50+5x=﹣x+5x+50=﹣（x﹣∴当x=
2552
）+50+。
42522
，即点E是AB的中点时，CE﹣CF取最大值。 2515255152此时，EG=10﹣x=10﹣=，CE=1， 00?x=100?=4222515CG15∴t。 an?DCF?tan?G??2?5EG132广东河源
5．在同一坐标系中，直线y＝x＋1与双曲线y＝ 1 x的交点个数为【 】 A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定 【答案】A。
10．如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形
的边循环移动．①第一次到达点G时，微型机器人移动了 ▲ cm； ②当微型机器人移动了2012cm时，它停在 ▲ 点．
【答案】7；E。
21．(1)已知方程x2＋px＋q＝0(p2－4q≥0)的两根为x1、x2，求证：x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．
(2)已知抛物线y＝x2＋px＋q与x轴交于点A、B，且过点(―1，―1)，设线段AB的长为d，当p为 何值时，d2取得最小值并求出该最小值．
bc2【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，∴x。 ?x??=?pxx，?2?=q121aa（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。
∵d=|x1﹣x2|，∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。∴当p=2时，d 的最小值是4。 22．如图，矩形OABC中，A(6，0)、C(0，23)、D(0，33)，射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l和x轴的正
半轴上的动点，满足∠PQO＝60o．
(1)点B的坐标是 ，∠CAO＝ o，当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ； (2)设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．
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【答案】解：（1）（6，23）。 30。（3，33）。
（2）当0≤x≤3时，如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；由题意可知直线l∥BC∥OA，
可得
EFPEDC311==??，∴EF=（3+x），此时重叠部分是梯形，其面积为： OQPODO333314343 S?S?（EF??OQ）（OC?3?x）=x?43梯形EFQO2331S?S?S?S??AH?AQ?HAQ梯形EFQO梯形EFQO2当3＜x≤5时，如图2，
4333213332 ?x?43??x?3=?x?x?。?3223212S?（BE?OA）?OC?31（2?x）23当5＜x≤9时，如图3，
23 =?x?123。3当x＞9时，如图4，
11183543。综上所述，S与x的函数关系式为： S?OA?AH??6?=22xx?43x?43?0?x?3??3??321333?x?x??3 ?23??3x?123?5 38 初三数学总复习 知识改变命运创造未来 （2）已知抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d取得最小值，并求出最小值． 22 bc2【答案】（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p﹣4q≥0，∴x。 ?x??=?pxx，?2?=q121aa（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。 设抛物线y=x+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x1，0）、（x2，0）。 ∵d=|x1﹣x2|，∴d=（x1﹣x2）=（x1+x2）﹣4 x1?x2=p﹣4q=p﹣4p+8=（p﹣2）+4。 ∴当p=2时，d 的最小值是4。 23．如图，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2和x轴正半轴上动点，满足∠PQO=60°． （1）①点B的坐标是 ；②∠CAO= 度；③当点Q与点A重合时，点P的坐标为 ；（直接写出答案） （2）设OA的中心为N，PQ与线段AC相交于点M，是否存在点P，使△AMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；若不存在，请说明理由． （3）设点P的横坐标为x，△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积为S，试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围． 【答案】解：（1）①（6，23）。 ②30。③（3，33）。 （2）存在。m=0或m=3﹣3或m=2。 （3）当0≤x≤3时， 如图1，OI=x，IQ=PI?tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线l∥BC∥OA， 可得 ）、D（0，3 ），射线l过点D且与x轴平行，点P、Q分别是l 22 2 2 2 2 2 2 2 EFPEDC311==??，∴EF=（3+x）， OQPODO3333此时重叠部分是梯形，其面积为： 14343 S?S?（EF??OQ）（OC?3?x）=x?43梯形EFQO233当3＜x≤5时，如图2， 1S?S?S?S??AH?AQHAQ梯梯形EFQO?形EFQO2 4333133322 ?x?43??x?3=?x?x?。?32232当5＜x≤9时，如图3， 12S?（BE?OA）?OC?31（2?x）23 23 =?x?123。3当x＞9时，如图4， 39 初三数学总复习 知识改变命运创造未来 11183543。 S?OA?AH??6?=22xx综上所述，S与x的函数关系式为： ?43x?43?0?x?3???3?321333x?x??3 ②由正切函数，即可求得∠CAO的度数： OC233∵t∠CAO=30°。 anC?AO?==，∴ OA63③由三角函数的性质，即可求得点P的坐标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PE⊥OA于E， ∵∠PQO=60°，D（0，33），∴PE=33。 E?∴APE?3。 0tan60∴OE=OA﹣AE=6﹣3=3，∴点P的坐标为（3，33）。 （2）分别从MN=AN，AM=AN与AM=MN去分析求解即可求得答案： 情况①：MN=AN=3，则∠AMN=∠MAN=30°， ∴∠MNO=60°。 ∵∠PQO=60°，即∠MQO=60°，∴点N与Q重合。 ∴点P与D重合。∴此时m=0。 情况②，如图AM=AN，作MJ⊥x轴、PI⊥x轴。 MJ=MQ?sin60°=AQ?sin600 3 ?（OA?IQ?OI）?sin60??（3?m）2113J?AM=AN=， 又M222∴33（3?m）=，解得：m=3﹣3。 2240