斜齿轮公法线测量点所在圆直径dk的计算
中煤北京煤机公司退休职工 周万峰
摘要：文章给出斜齿轮公法线测量点所在圆直径(dk)的另一种计算方法，并验证了这种方法是完全正确的。
关键词：斜齿轮，当量直齿轮。
一、概述
大家知道，判断一条公法线长度是否合理（见《变位齿轮公法线长度合理性的判定》一文）或者验算变位斜齿轮的齿宽能否进行公法线长度的测量（见《变位斜齿轮满足公法线长度测量点有效齿宽的正确计算》一文），都需算出公法线测量点所在圆的直径（dk)的值（见图1）。直齿轮的dk值容易计算，但不知斜齿轮的dk如何计算。一天笔者突发奇想：将斜齿轮看成是当量的直齿轮，用直齿轮的方法计算斜齿轮的dk如何呢？于是给出算例进行计算，很快有了结果。但这种方法行不行，有无误差以及误差大小如何心中都是无底的。于是对这种方法进行分析：比如：当跨齿数计算值k?4.5836时，按规定应取k?5。这时公法线测量点（量具卡脚与齿廓的切点）应在分度圆以上，且离分度圆较远；当k?5.4674时，应取k?5，这时公法线的测量点应在分度圆以下，且离分度圆较远；当k?5.0785时，应取k?5。这时公法线的测量点应在分度圆以下，但离分度圆会很近；当k?4.9824时应取k?5。这时公法线的测量点应在以上，且离分度圆会很近。这样分析后立即给出算例进行验证。结果正如笔者所分析的那样。于是在上世纪80年代末，90年代初写出了前面说的那两篇文章。但北京一家工艺性质的杂志的审稿人认为：用当量直齿轮法计算斜齿轮的dk的值“是近似的，有误差的，影响判断的正确性”。于
图1 公法线长度测量
是他提供一个计算斜齿轮dk的公式，即dk?db?(Wncos?b)2（笔者后来得知，瑞士
2“齿轮手册”上有这个公式，我国教材、手册和科技书上没有这个公式）。他说用这个公式计算才是正确的，因而不同意文章发表。笔者认为自己使用的方法是可行的，于是双方争
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鸣起来。由于双方各持己见，当然文章不能发表。那么笔者使用的这种方法到底怎么样呢？它会影响判断的正确性吗？笔者告诉您，这种方法完全正确，并不影响判断的正确性。
二、用当量直齿轮计算斜齿轮dk的方法
所谓当量直齿轮就是将斜齿轮看成是齿数为z?(z??z(inv?tinv?n)、参数与斜齿轮法面参数相同的直齿轮，这样就可按直齿轮的方法计算斜齿轮的dk了（直齿轮的计算式为：
dk?Wk?db）。现将计算步骤说明如下：
?1、计算当量直齿轮公法线测量点所在圆直径dk
22dk?Wk??2?db?2
?Wk——当量直齿轮的公法线长度； ?db——当量直齿轮的基圆直径。
??Wk 、db的计算方法与直齿轮相同，只是z用z?代入。
?2、计算当量直齿轮的齿顶圆直径da
??da?d??2ha
d?——当量直齿轮的分度圆直径，d??mz?； ??ha——当量直齿轮轮的齿顶高，ha?ha 。
??3、计算当量直齿轮公法线测量点至齿顶的距离Sa （Sa?Sa）
???Sa?(da?dk)2。
4、计算斜齿轮的公法线测量点所在圆直径dk
dk?da?2Sa
式中da为斜齿轮的齿顶圆直径。dk求出后代入公式tg?k?(dkd)tg?中即可求出公法线测量点所在圆的螺旋角?k，然后即可验算齿宽能否进行公法线长度的测量，公式为
b?Wknsin?k。那么用这种方法求出的dk是否影响判断齿宽的正确性呢？笔者告诉您：
这种方法是相当精确的，绝对不会影响判断的正确性。下面用3个算例对这种方法的正确性进行验证。
三、用当量直齿轮计算斜齿轮dk方法正确性的验证
算例
?n?20 一标准斜齿轮，mn?5mm ，z?42 ，0。当
??300，??180，??120时，试用两种方法计算公法线测量点所在圆直径dk，然后计
算齿宽b，看看两种方法误差的大小。
2
1、用理论公式计算dk
dk?db?(Wncos?b)2
⑴ 计算基圆直径db
db?dco?st ① 计算分度圆直径d
2d?mnzcos?
?当??300时d?5?42cos300?242.4871。
当??180时d?5?42cos180 ?220.8071。 当??120时d?5?42cos 120?214。 .6915② 计算斜齿轮端面压力角?t
?tg?t?tg?ncos???t?arc tg(tg?ncos?)
?当??300时?t?arctg(tg200cos300)?22.7958770。
当??18时?t?arctg(tg20 当??12时?t?arctg(tg200000cos180)?20.9418906。 cos120)?20.4103102。
?当??300时db?242.4871cos22.7958770?223.5467。
当??18时db?220.8071cos20.941896 当??12时db?214.6915cos20.410312
⑵ 计算公法线长度Wn
0000?206.2213。 ?201.2130。
Wn?mncos?n?(k?0.5)??z?inv?n?
计算跨齿数
k?z??n1800?0.5，z??zinv?t。
inv?n?当??300时inv22.7958770?tg22.7958770?22.7958770?1800?0.0224135。
inv200?0.0149044(见手册)
?inv?t0.0224135??1.5038。
inv?n0.0149044?z??42?1.5038?63.1596。
?k?63.1596?2001800?0.5?7.51，按规定应取k?8。
当??18时inv20.941896?tg20.941896?20.94189600?1800?0.0171959 。
?inv?t0.0171959??1.1537。
inv?n0.0149044z??42?1.1537?48.4574，
?k?48.4574?2001800?0.5?5.88。按规定应取k?6。
3
当??12时inv20.41031200?tg20.4103120?20.4103120?1800?0.0158744。
?inv?t0.0158744??1.0651。
inv?n0.0149044z??42?1.0651?44.7334。
?k?44.7334?2001800?0.5?5.47。按规定应取k?5。
???300时Wn?5cos200(8?0.5)??63.1596inv200?115.1279。
??180时Wn00??120时Wn⑶ 计算基圆螺旋角?b
?tg?b?tg?cos?t??b?arctg(tg?cos?t)
???5cos20?(6?0.5)??48.4574inv20??84.5770。 ?5cos20?(5?0.5)??44.7334inv20??69.5555。
00?当??300时?b?arctg(tg300cos22.7958770)?28.0243210。
当??18时?b?arctg(tg18cos20.941896)?16.880767。 当??12时?b?arctg(tg12cos20.410312)?12.266519 。
2（115.1279cos28.0243210）?245.5638。 ?当??300时dk?223.54672?0当??18时dk?00000000206.22132?(84.5570cos16.8807670)2?221.5340。 201.21302?(69.5555cos11.2665190)2?212.4617。
0当??12时dk?2、用当量直齿轮法计算斜齿轮的dk
inv?t)、参数与与斜齿轮法面参数inv?n相同的直齿轮，然后用直齿轮的方法计算斜齿轮的dk。斜齿轮的dk?da?2Sa（da为斜
当量直齿轮法就是将斜齿轮看成是齿数为z?(z??z齿轮的齿顶圆直径，Sa为公法线测量点至齿顶的距离）。?
⑴ 计算斜齿轮的齿顶圆直径da
da?d?2ha (ha?mn?5)
???300时da?242.4871?2?5?252.4871。
??180时da?220.8071?2?5?230.8071。
0 ??12时da?214.6915?2?5?224.6915。
⑵ 计算斜齿轮公法线测量点至齿顶的距离Sa
众所周知，斜齿轮的Sa与当量直齿轮的Sa是相等的。所以当量直齿轮公法线测量
点至齿顶的距离为：
????Sa?(da?dk)2
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① 计算当量直齿轮的齿顶圆直径da
?d??mz?
???300时d??5?63.1596?315.7980，
??180时d??5?48.4574?242.2870， ??120时d??5?44.7334?223.6670。 ?当??300时d?a?315.7980?2?5?325.7980。
当??180时d?a?242.2870?2?5?252.2870。
当??120时d?a?223.6670?2?5?233.6670。
②计算当量直齿轮公法线测量点所在圆直径d?k
d??2?2k?db?Wk
A 计算当量直齿轮的基圆直径d?b
d?b?d?cos?
?当??300时d?b?315.7980cos200?296.7531。 当??180时d?200b?242.2870cos?227.6753。 当??120时d?0b?223.6670cos20?210.1782。B、计算当量直齿轮的公法线长度W?k
从计算结果知，当量直齿轮与斜齿轮的公法线长度是一样的，即
??300时W?k?115.1279，
??180时W?k?84.5770， ??120时W?k?69.5555。
?当??300时d?k?296.75312?115.12792?318.3031。 当??180时d?k?227.67532?84.57702?242.8772。 当??120时d?k?210.17822?69.55552?221.3884。?当??300时 S?a?(325.8020?318.3031)2?3.7471。5