电子科技大学光电信息学院
课程设计论文
课程名称 题目名称 固体与半导体物理
布里渊区的选取
学 号 2905301014 2905301015 2905301016
姓 名 李雄风 寿晓峰 陈光楠
指导老师 刘爽
起止时间
2011年10月1日
2011.10.1-2011.10.15
布里渊区的选取
摘要
本文着重介绍了布里渊区的选取。首先，本文给出了倒格子和布里渊区的相关概念；随后，本文以一维的简单格子、二维的有心长方格子、三维的面心立方格子和体心立方格子为例，详细说明了布里渊区的选取过程；最后，本文介绍了制作面心立方格子和体心立方格子的第一布里渊区的实物模型的方法（附上实物模型）。
一、相关概念介绍
1.1倒格子
假设晶格原胞基失为 、 和 ，则对应的倒格子原胞基失为 、 和 ，
它们满足如下关系：
其中 为原胞体积。 、 和 是不共面的，因而由 、 和 也可以构成一个新的点阵，我们称之为倒格子。
倒格子原胞基失也可以通过下式来定义（在处理一维和二维问题时我们将用到它）：
当
当
倒格子的一个基矢是和晶格原胞中一组晶面相对应的，它的方向是该晶面的法线方向，而它的大小则为该晶面族面间距倒数的2π倍。
倒格子是描述晶体结构周期性的另一种类型的格子，它是在波矢空间的数学表示，它的一个基矢对应于正格子中的一族晶面，因此可将晶格中的一族晶面可以转化为倒格子中的一个点，这在处理晶格的问题上有很大的意义。尤其是下面介绍的布里渊区，就是在倒格子下定义的。
倒格子与布里渊区有着非常紧密的联系。在正格子空间中，正格子原胞体积等于威格纳-赛兹原胞体积；在倒格子空间中，倒格子原胞体积则等于第一布里渊区的体积。
1.2布里渊区
在倒格子空间中，以某一倒格点为原点，从原点出发作所有倒格点的位置矢量 的垂直平分面，这些平面把倒格子空间划分成一些区域，这些区域称为布里渊区。其中最靠近原点的平面所围成的区域称作第一布里渊区，第一布里渊区界面与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区，以此类推，第n个布里
渊区是从原点出发，跨过（n-1）个垂直平分面的所有区域的集合。
表示从原点出发，由于布里渊区界面是某倒格矢 的垂直平分面，如果用
端点落在 的垂直平分面上的矢量，则其必满足方程：
对于布里渊区的边界方程（1）式，有如下说明： 从原点出发，端点落在 的 的垂直平分面上，由于 ，而
端点落在 的垂直平分面上必须有 ，所以可以得出布里渊区边界方
程为： 其中， 其满足 。 称为倒格矢， ， 、 为任意波矢， 和 、 和 为任意整数； 其满足 为倒格子基矢， ， 、 和 是倒格子空间的单位正交基矢， 、 和 为倒格子空间的三个坐 标量。由此，便可根据边界方程（1）式得出各个中垂面满足的方程，最终求出各个布里渊区。
各布里渊区体积相等，都等于倒格子的原胞体积。布里渊区具有周期性，每个布里渊区的各个部分，经过平移适当的倒格矢 以后，可以使一个布里渊区与另一个布里渊区重合。每个布里渊区都是以原点为中心对称分布的。周期结构中的一切波在布里渊区界面上产生布拉格反射，对于电子德布罗意波，这一反射可能使电子能量在布里渊区界面上产生不连续变化。根据这一特点，1930年L.-N.布里渊首先提出用倒格子矢量的中垂面来划分波矢空间的区域，从此被称为布里渊区。
选取布里渊区的步骤：
（1）利用正格子基矢求出倒格子基矢； （2）通过倒格子基矢写出倒格矢 ；
（3）利用边界方程式（1）求出中垂面的方程；
（4）距离原点最近的中垂面所围成的区域即为第一布里渊区，次近的中垂面和最近的中垂面所围成的区域则为第二布里渊区……以此类推，便可求得各个布里渊区。
二、布里渊区选取举例
2.1一维情况举例
在一维的情况下，简单格子只有一种类型，而所有的复式格子都可以通过基元的选择转化为简单格子，因此，只要以晶格常数为a的一维晶格为例求解布里渊区即可。
（1）求倒格子基矢：
晶格常数为a的一维晶格的原胞基失为
设倒格子基矢为 ，则由 易知：
（2）写出倒格矢：
在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立坐标系，则该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出：
（3）求边界方程：
设倒格子空间中的任意波矢为：
根据边界方程式（1）有：
距原点最近的两个倒格点的倒格矢为：
求得其对应的两条中垂线方程为：
由此即可确定第一布里渊区；
距原点次近的两个倒格点的倒格矢为：
求得其对应的两条中垂线方程为：
由此可确定第二布里渊区；
……以此类推，可以确定各个布里渊区。 （4）画出布里渊区：
各个布里渊区如图2-1所示。
图2-1 一维简单格子的布里渊区
2.2二维情况举例
以二维有心长方晶格为例，设其晶格常数分别为a和b，且令b=2a，则该晶格与其晶胞和原胞如图2-2所示。
图2-2 二维有心长方晶格示意图
（1）求倒格子基矢：
由图2-1易知，正格子的原胞基矢为：
设倒格子基矢为 和 ，由其定义，有：
由此解得倒格子基矢为：
（2）写出倒格矢：
在倒格子空间中任取一个倒格点作为原点建立直角坐标系，则倒格子基矢
和 该空间中任意倒格点的位置均可由其对应的倒格矢给出： 分别如图2-2所示，
（3）求边界方程：
设倒格子空间中的任意波矢为：
容易找到，距离原点最近的6个倒格点的倒格矢为：
于是利用（1）式，可以求得距离原点最近的6条中垂线方程为：
距离原点次近的6个倒格点的倒格矢为：
再次利用（1）式，可以求得距离原点次近的6条中垂线方程为：
……
以此类推，可以由近到远地求出各个倒格点所对应的中垂线方程，即布里渊区的边界方程。
（4）画出布里渊区：