故数学期望E(?)?0?2635?1?26105?2?1105?415
17.（本小题满分14分）
. （1）证明：连AC，∵四边形ABCD是矩形，N为BD中点，
∴N为AC中点，--------------------------------------------------------------1分 在?ACF中，M为AF中点，则MN为?ACF的中位线 故MN//CF--------------------------3分
∵CF?平面BCF，MN?平面BCF，?MN//平面BCF；---4分 （其它证法，请参照给分） （2）依题意知DA?AB,DA?AE 且ABIAE?A ∴AD?平面ABFE
∵AP?平面ABFE，∴AP?AD，------------------5分 ∵P为EF中点，∴FP?AB?22 FCNBAMPED结合AB//EF，知四边形ABFP是平行四边形
∴AP//BF，AP?BF?2----------------------------------------------------7分
而AE?2,PE?22，∴AP?AE?PE ∴?EAP?90?，即AP?AE-----8分 又ADIAE?A ∴AP?平面ADE，
∵DE?平面ADE， ∴AP?DE.------------------------------------------------9分 （3）解法一：如图，分别以AP,AE,AD所在的直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系 设AD?m(m?0)，则A(0,0,0),D(0,0,m),E(0,2,0),P(2,0,0) ZCNAMXPEyD222uuur易知平面ADE的一个法向量为AP?(2,0,0)，-----------10分
ruurB设平面DEF的一个法向量为n?(x,y,z)，PE?(?2,2,0)
ruurF?uuur??2x?2y?0?x?y?0?n?PE?0DE?(0,2,?m)则?ruuu 故?，即? r?2y?mz?0?2y?mz?0??n?DE?0r22令x?1，则y?1,z?，故n?(1,1,)----------------------------------------11分
mmuuurruuurrAP?n2urr?∴cos?AP,n??uu，
4|AP||n|22?2m依题意，222?4m2?12，解得m?2，-------------------------------------------------------13分
即AD?2时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60?．------------------------14分
【解法二：过点A作AM?DE交DE于M点，连结PM，则DE?PM,
∴?AMP为二面角A-DE-F的平面角，---------------------------------------------------------11分 由?AMP=600，AP=BF=2得AM?又AD?AE?AM?DE得2AD?APtan60233o?233，-------------------------------------12分
?22?AD2，
解得AD?2，即AD?2时，平面CDEF与平面ADE所成的锐二面角为60?．--------14分 18、（本小题满分14分） 解: (1)由题意,设点M(x,y),则有MF1?(x?4)2?y2,点M(x,y)到直线的距离
d?x?(?2)?x?2,故(x?4)2?y2?故动点M的轨迹方程为x?y?8 (2) d1d2是常数,证明如下:
222x?2,化简后得: x2?y2?8 .
若切线m斜率不存在,则切线方程为x??22,此时d1d2?(c?a)(c?a)?b?8 当切线m斜率存在时,设切线m:y?kx?b,代入x?y?8,整理得:
222x2?(kx?b)2?8,?(1?k2)x2?2bkx?(b2?8)?0 ????2bk??4(1?k2)(b2?8)?0,化简得: b2?8k2?8
又由m:kx?y?b?0, d1?2?4k?bk?12,d2?4k?bk?12,
d1d2?16k2?b2k?12?16k2?(8k2?8)k?12?8=常数. 综上,故对任意切线m,d1d2是常数
19、（本小题满分14分）
解：（1）由函数f(x)图像以P(2,m)为对称中心，则f(1)?f(3)?2f(2)，代入计算得：
3a?1?27?9a?8,?a?3，故f(x)?2x3?12x2?18x,则m?f(2)?16?48?36?4
322（1）另解：由f(x)?2x?3(a?1)x?6ax,?f?(x)?6[x?(a?1)x?a]
则
a?12?2，则a?3，故f(x)?2x3?12x2?18x,
则m?f(2)?16?48?36?4
（2）由f?(x)?6[x?(a?1)x?a]?6(x?a)(x?1) 因为a?1,?a??1或a?1，讨论： 1. 若a??1，如下表： x (0,1) 21 0 (1,2a) ? Z f?(x) f(x) ? ] 3a?1 则此时fmin(x)?f(1)?3a?1 2. 若a?1时，如下表： x1 (0,1) (1,a) a 0 (a,2a)f?(x) ?0 ? ? f(x) Z3a?1 ] 3a2?aZ 由f(0)?0，f(a)?3a?a?a(3?a)
232i)当1?a?3时，f(a)?f(0)，则fmin(x)?f(0)?0
ii)当a?3时，f(a)?f(0)，则fmin(x)?f(a)?3a2?a3
??3a?1,(a??1)?fmin(x)??0,(1?a?3)综上所述：
??3a2?a3.(a?3)?20、（本小题满分14分）
解: (1) 当n?2时，Sn?2Sn?1?n,又Sn?1?2Sn?n?1,两式相减得：
an?1?2an?1?an?1?1?2(an?1).
又a1?1，S2?2S1?2,得a2?3，满足a2?1?2(a1?1).
? 数列{an?1}是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列．
得an?1?2?2n-1?2n,?an?2n?1,n?N*.
n*n?1(3) 证明：由（1）可知?an?2?1,n?N,?an?1?2 由cn?n?1?1
1an?1?n?1?12n?1?n?2
因为2012n?1?n?2?(1?1)n?1?n?2?Cn?1?Cn?1?Cn?1?LCn?1?n?2
012?Cn?1?Cn?1?Cn?1?n?2??n?1?n2
故cn?12n?1?n?2?231523122,由c1?1? ;c1?c2?1?????n(n?1)nn?11244122当n?3时,
c1?c2?L?cn?1?
则不等式成立. 另解: cn?11?51?5223?11??11??1?1?2????2????L2?????2??????4?34??45??nn?1?4?3n?1?43121an?1?n?1?12n?1?n?2
2n?1?n?2?2n?(2n?n?2),当n?2时,总有2n?n?2(用数学归纳法证明,略)
当n?1,c1?1?2 则n?2时,cn?故
12n?1?n?2?12?(2?n?2)nn?12n
1?1?(1???23n1?1??1?4?1??2?c1?c2?L?cn????????L???1?11?2??2??2?1?2则不等式成立.
n?1)323?1??1??????
2?2?2121n