华侨大学09年第二学期《电磁场与电磁波》B类 试卷
计算题的计算中间变量可用表达式表示或给出计算结果。最终结果必须给出数据，如写成小数形式，要求保留3位有效数字，科学计数法给出小数点后2位。
一、 试写出球坐标系下各个方向的度量系数(拉梅系数)、线元、面元及体积元。（6分）
二、 如图所示，假设一带电题系统是由同心的内球和外球壳所组成，其中内球的半径为a，外球的内表面和外表面的半径
分别为b和c，内球带电荷Q，外球壳带净电荷Q?，求任意点的点位和电场强度。（10分） 三、 试推导静电场条件下电位移矢量D在跨越介质边界时所需要满足的边界条件。(6分)
四、 自由空间三个电电荷带电量分别为100nc，200nc和300nc，它们之间的间距均为5cm，则该系统的总能量为多少？（8分） 五、 如图所示，两导体板位于??10cm和??30cm处，高度为10cm，板间填充介质?r?3.6，请确定该系统的电容。（12
分）
22六、 证明：在均匀、线性、各向同性、导电媒质中，无源区的时谐磁场满足以下波动方程：?H?????j???H?0?????（8分）
七、如图所示，槽底部电位为??x,0??U0sin?（y??,?有限）（15分）
?3?x??请求出槽内的电位分布。 a???msin??t?kz? 八、已知无源、自由空间中的电场强度矢量E?yE①由麦克斯韦方程求磁场强度 ②证明?k等于光速。
③求坡印廷矢量的时间平均值 （15分）
九、理想媒质中一均匀平面电磁波的电场强度矢量为
???5cos2??108t?z?E?t??x①求媒质及自由空间的波长
?V/m?
②已知媒质???0,???0?r，求媒质的?r。
③写出磁场强度矢量的瞬时表达式。 （10分）
?十、均匀平面电磁电磁波电场E?E0?x试写出入射波，??jy??e?j?z由空气垂直入射到z＝0处的理想介质?r?1,?r?4分界面上，反射波，透射波的表达式。
?①反射波的电场强度Er
?②折射波的磁场强度Ht
③入射波、反射波和折射波电场各自的极化情况。 （10分）
z45?cm10cm3010cmbya30?c?QQQ?x?Q题２图
题5图
华侨大学09年第二学期《电磁场与电磁波》B类 试卷参考答案
一、 试写出球坐标系下各个方向的度量系数(拉梅系数)、线元、面元及体积元。（6分）
解： hr?1 h??r h??rsin? dlr?hrdr?dr dlh?d???? dSr?dl?dl??rsin?d?d?
2（1分） （1分） （1分） （1分） （1分） （1分）
dl r?dh?d?srin??d???dS??dl?dlr?rsin?d?dr dS??dlrdl??rdrd?
dV?dlrdl?dl??r2sin?drd?d?
二、 假设一带电导体系统是由同心的内球和外球壳所组成，其中内球的半径为a，外球壳的那表面和外表面的半径分别为b和c，内球带电荷Q，
外球壳带净电荷Q?，求任意点的点位和电场强度。
解：先求出空间的电场强度分布，由于静电屏蔽的关系，外球壳内表面带电量?Q，外球壳外表面带电量Q??Q，且内球电荷均分布于导体表面，故根据高斯定理
?1）0?r?a，E1?0
??2）a?r?b，E2?rQ4??0r2
（1分） （1分）
?3）b?r?c，处于外导体内部，E3?0
?Q?Q??4）r?c，E4?r 4??0r2则根据U?r??（1分） （1分）
?r???E?dl，有
r??Q?Q?1）r?c，U4?r???E4?dl?
?4??0r（1分）
2）b?r?c，U3?r??U4?c??Q?Q? 4??0c（1分）
3) a?r?b,U2?r??
?br??c??c??1?QQQ?Q??E2?dl??E3?dl?E4?dl????? b?4??0?rbc?1?QQQ?Q?????? 4??0?abc?
（2分） （2分）
4) 0?r?a,U1?r??U2?a??
?三、试推导静电场条件下电位移矢量D在跨越介质边界时所需要满足的边界条件。(6分)
证明：根据静电场电位移矢量的Maxwell积分方程，有
???s??D?dS?q
（2分）
在介质边界处应用该方程
S1S2?nS3
（2分）
??????D1?S1?D2?S2?D?S3?q
由于圆盘的厚度可以设为无限小，故第三项积分为0。同时考虑
???,S2??nS? S1?nS故
（1分）
??q???D1?D2???? nS
（1分）
四、自由空间三个电电荷带电量分别为100nc，200nc和300nc，它们之间的间距均为5cm，则该系统的总能量为多少？（8分）
解：根据公式，系统的总能量为
We?1?q1?1?q2?2?q3?3? 2（3分）
?ij?qj4??0rij （2分）
设q?100nc，d?0.05m，
则r12?r23?r31?d q1?q q2?2q q3?3q
5q28q29q2，q2?2? q3?3? q1?1?4??0d4??0d4??0d故 We?11q?4??0d211??100?10?9?10?94??36?2?0.99mJ
（3分）
五、如图所示，两导体板位于??10cm和??30cm处，高度为10cm，板间填充介质?r?3.6，请确定该系统的电容。（12分）（10min）
解：该题有简单方法和复杂方法两种，不易给出具体评分。如采用简单方法，直接套用单位长度的同轴线电容公式有，
C?2??
ln?ba?由于图中结构为完整结构的124，也即是如图所示的24个电容并联为上式中的结果，根据电容并联关系，可知单位长度的该系统电容为
C????12ln?ba?
考虑高度因素，该系统电容为
10?90.1???3.6?h??36??0.758pF Cs??12ln?ba?12ln3六、证明：在均匀、线性、各向同性、导电媒质中，无源区的时谐磁场满足以下波动方程：?2??H???2???j????H?0（8分）（5min）
证明：在上述条件下的电场、磁场的旋度方程为：
????E??j??H ?????H??E?j??E
对磁场旋度方程两边同时取旋度，有：
（1分） （1分）
???????H?????j?????E
（2分）
利用恒等式：
???2?????H???????H???H
并考虑均匀和无源区特性：
（1分）
?????B????H?0???H?0
故
（1分）
??2?????H????H
将电场旋度方程代入得：
（1分）
?????2H????j?????j???H???j?????2???H
整理可得：
（1分）
??2?H??????j????H?0
2
七、 解：设通解为
ky?ky???A0x?B0??C0y?D0?????Ansin?knx??Bncos?knx????Cne?Dne?（2分）
nn?n?1写出相应边界条件： ①x?0,y?0,??0
代入通解可得：
（1分）
??B0?C0y?D0???Bn?Cneky?Dne?ky??0
nn?n?1可得Bn?0，故通解为
（2分）
??x?C0y?D0???sin?knx??Cneky?Dne?ky?
nn?n?1②y??,?有限，故无e指数的正幂项 Cn?0
通解可写为
（2分）
??xD0??Dnsin?knx?e?ky
n?n?1③x?a,y?0,??0
（1分）
??aD0??Dnsin?kna?e?ky?0
n?n?1考虑与y的无关性，故D0?0
sin?kna??0?kn??n? ?n?1,2,3...? a（2分）
?n?通解变为???Dnsin??an?1④y?0,0?x?a,??U0sin????ay x?e?（2分）
n??3?x?? ?a??3?x?? a?????Dnsin?knx??U0sin?n?1利用三角函数正交性（或者Fouier级数），可得n?3时D3?U0，其余系数为0
所以 （3分）
?3???ay ??U0sinx?e ?a??八、 解：①无源即Js?0，?s?0。由麦克斯韦方程可知 2分
??Ey?H??mcos??t?kz?????xkE ??E??x 2分 ?z?t 积分并忽略积分出来的常数
3?? H?x?kEm????D??②将上式和D??0E代入麦克斯韦方程??H?J?有 2分
?t??Hxk2Em?E????0?Emcos??t?kz?2分 ??H?y?ycos??t?kz???0?y?z?0??t?0?sin??t?kz? 2分
由此得
k2?0???0?,?2k2?1?0?0 即
?k?1?0?0?c 2分
③坡印廷矢量的时间平均值
21T??1kEm? 3分 Sav??E?Hdt?zT02?0?九、 ①媒质及自由空间中的波长。
2?2???1m， 2分 k2?cc空气中的波长?0???3m。 2分
?f2?②由题意知k?2????0?0?r 1分
媒质中的波长?c?c?1?0?0,??2??108 2分
??r?9?0?40?，伴生磁场的瞬时表达式为 1分 9?0??111?5cos2??108t?z??y???E?t??y H?t??zcos2??108t?z???8?③媒质的波阻抗??十、解： 介质波阻抗为：?1??0??0?60?? 1分
?r2空气中波阻抗为?0?120?? 1分
故反射系数：???A/m?2分
?1??01?? 2分
?1??032分
透射系数：??2?12?
?1??03?入射波为：Ei?E0?x??jy??e?j?z
?1??jy??ej?z 2分 ①反射波的电场为：Er??E0?x3
2分
?2??jy??e?j2kz E②折射波电场为：t?E0?x3折射波磁场为：
??11??jx??e?j2kz 2分 ??Et?Ht?zE0?y?190?③入射波电场为左旋圆极化波，反射波电场为右旋圆极化波，折射波电场为左旋圆极化波 3分