湖南省长郡中学2011届高三年级分班考试
数学试题（理科）
时量：120分钟 总分：100分
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置. 1．(1?i)10(i为虚数单位)的二项展开式中的第七项为
（ ）
A．—210 B．210 C．—120i D．120i 2．一个空间几何体的三视图及其尺寸如下图所示,则该空间几何体的体积是
（ ）
A．
73 B．
2x143 C．7 D．14
D．(2,e)
（ ）
3．函数f(x)?ln(x?1)?
A．(,1)
21的零点所在的区间是
C．(e?1,2)
B．(1,e?1) xa224．已知离心率为e的双曲线
为
A．
34?y27?1，其右焦点与抛物线y2?16x的焦点重合，则e的值
B．
42323
C．
43
D．
234（ ）
5．如图，设D是图中所示的矩形区域，E是D内函数
y?cosx图象上方的点构成的区域，向D中随
机投一点，则该点落入E（阴影部分）中的概率 为
A．C．
2
?12（ ）
???2?1
B．D．
6．执行下面的程序框图，输出的S 值为 （ ）
A．
910 B．
718 C．
89 D．
25
7．为了迎接第十届全国中学生运动会在长沙举行，某中学从6名品学兼优的同学中选出4名去
进行为期三天的宣传活动，每人一天，要求星期天有2人参加,星期五、星期六各有1人参
加,则不同的选派方案的种数为 A．90 B．180
C．240
D．360
（ ）
8．已知集合M?{1,2,3},N?{1,2,3,4},定义函数f:M?N.若点A(1,f(1))、B(2,f(2))、
且DA?DC??DB(??R)，则满足条件的函数C(3,f(3)),?ABC的外接圆圆心为D，
f(x)有
（ ）
B．10个
C．12个
D．16个
A．6个
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分，把答案填在答题卡中对应题号后的横
线上. 9．由抛物线y?x和直线x=2所围成图形的面积为 . 10．集合A?{x|14?2x2?12,x?R},B?{x|x?2tx?1?0},若A?B?A，则实数t的
2取值范围是 。 11．已知二次函数f(x)?ax 。
12．给出下列四个命题：
①过平面外一点，作与该平面成?角的直线一定有无穷多条；
②一条直线与两个相交平面都平行，则它必与这两个平面的交线平行；
③对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有唯一的一个平面与这两条异面直线都
2?2x?c(x?R)的值域为[0,??),则a?1c?c?1a的最小值为
平行；
④对两条异面的直线,都存在无穷多个平面分别与这两条直线所成的角相等； 其中正确的命题序号为 （请把所有正确命题的序号都填上）.
三、解答题：本大题共6小题，共55分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分8分）
三角形的三内角A，B，C所对边的长分别为a,b,c,设向量m?(c?a,b?a), n?(a?b,c),若m//n,求：
（1）角B的大小；
（2）sinA?sinC的取值范围.
17．（本小题满分8分）
某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动,进行现场抽奖.盒中装有10张大小相同
的精美卡片,卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行.
（1）活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“海宝”卡? 主持人答:我只知道，从盒中抽取
两张都是“世博会会徽”卡的概率是
215，求抽奖者获奖的概率；
（2）现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用?表示获奖的人数，求?的分布列及期望.
18．（本小题满分9分）
已知几何体A—BCED 的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰
直角三角形，正视图为直角梯形.求：
（1）异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）二面角A—ED—B 的正弦值； （3）此几何体的体积V 的大小.
19．（本小题满分10分）
学习曲线是1936年美国廉乃尔大学T. P. Wright博士在飞机制造过程中，通过对大量
有关资料、案例的观察、分析、研究，首次发现并提出来的。已知某类学习任务的学习曲线为：f(t)?34?a?2?t?100%(其中f(t)为掌握该任务的程度，t为学习时间），且这
类学习任务中的某项任务满足f(2)?60%.
（1）求f(t)的表达式，计算f(0)并说时f(0)的含义； （2）已知2?xln2对任意x?0恒成立,现定义xf(t)t为该类学习任务在t时刻的学习
效率指数，研究表明，当学习时间f?(1,2)时，学习效率最佳，当学习效率最佳时，求学习效率指数相应的取值范围。
20．（本小题满分10分）
已知直线l与函数f(x)?lnx的图象相切于点（1，0），且l与函数
g(x)?12x?mx?272(m?0)的图象也相切。
（1）求直线l的方程及m的值；
（2）若h(x)?f(x?1)?g?(x)(其中g?(x)是g(x)的导函数)，求函数h(x)的最大值； （3）当0?a?1时,求证:f(1?a)?f(2)?
21．（本小题满分10分）
已知椭圆C:xa22a?12.
?yb22?1(a?b?0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴
为半径的圆与直线x?y? （1）求椭圆C的方程；
6?0相切。
（2）设P(4,0),A,B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于
另一点E，证明：直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M、N两点，求OM?ON的取值范
围。