参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 1—8 ABCCDABC
二、填空题：本大题共7小题，每小题3分，共21分。 9．
823 10．(??,?54] 11．4
12．②④ 15．
1313．??2cos? 14．10
三、解答题：本大题共6小题，共55分.
16．解：（1）?m//n,?c(c?a)?(b?a)(a?b)，
a?c?bac,B?222 ?c?ac?b?a,? 由余弦定理得cosB?12222?1.
?3. ??????4分 2?3 （2）?A?B?C??,?A?C??sinA?sinC?sinA?sin(?sinA?sin?32sinA?2?3323cosA?cos2?32?3，
?A)sinAcosA?3sin(A??6,
).?0?A?2?,??6?A??63?5?6?12?sin(A??6)?1,?2?sinA?sinC?3. ????8分
17．解：（1）设“世博会会徽”卡有n张，
由
Cn22C10?215,得n?4. ??????1分
故“海宝”卡有6张，抽奖者获奖的概率为
C6C2210?13. ????3分
（2）?可能取的值为0，1，2， 3，4，则 ??????4分
2416P(??0)?()?;3811 P(??1)?C412332()?;3381
2421222P(??2)?C4()()?;338183132P(??3)?C4()?;3381P(??4)?()?.381141
所以?的分布列为
? 0 16811 32812481?3?2 2481881?4?1813 881434 181P E??0?1681?1?3281?2??. ????8分
18．解：方法一（1）取EC的中点是F，连结BF，
则BF//DE，∴∠FBA或其补角即为异面直线DE与AB所成的角．
在△BAF中，AB=42，BF=AF=25．∴cos?ABF?105．
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为105．??????3分
（2）AC⊥平面BCE，过C作CG⊥DE交DE于G，连AG．
可得DE⊥平面ACG，从而AG⊥DE ∴∠AGC为二面角A-ED-B的平面角． 在△ACG中，∠ACG=90°，AC=4，CG=
85553
tan?AGC?∴
52sin?AGC?．∴．
∴二面角A—ED—B的正弦值为53．??????6分
（3）V?13?SBCED?AC?16
∴几何体的体积V为16．??????9分 方法二：（坐标法）（1）以C为原点，以CA，CB，CE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4， 2），E（0，0，4）
????????????????，∴DE?(0,?4,2),AB?(?4,4,0)cos?DE,AB???105
∴异面直线DE与AB所成的角的余弦值为105．????3分
???? （2）平面BDE的一个法向量为CA?(4,0,0)，
?设平面ADE的一个法向量为n?(x,y,z)， ??????????????????n?AD,n?DE,AD?(?4,4,2),DE?(0,?4,2)??????????∴n?AD?0,n?DE?0
从而?4x?4y?2z?0,?4y?2z?0,令y?1， 则n?(2,1,2), cos?CA,n????????23
∴二面角A-ED-B的的正弦值为
1353．??????6分
（3）V??SBCED?AC?16，∴几何体的体积V为16．??????9分
34?a?2?t19．解：（1）?f(t)?则34?a?2?2?100%(t为学习时间),且f(2)?60%，
?100%?60%,可解得a?4,3?100%?3834(1?2)?t?f(t)??f(0)?4?a?234(1?1)?t(t?0),
??37.5%f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5% ????4分
（2）令学习效率指数y?f(t)t，
即y?f(t)t?34t(1?2)t2t?t?34(t?t2t(t?0))
现研究g(t)?t?的单调性,g?(t)?1?2?t?2ln2(2)xt2tt?2?tln2?12tt(t?0). ????6分
又已知x?0时,2t?xln2恒成立,?2?tln2?0,即g(t)?0恒成立,?g(t)在(0,??)上为增函数且g(t)为正数,
?y?f(t)t?34(t?t2t(t?0)在(0,??)上为减函数。 ????8分 )而y|t?1??y?f(1)1?(?312,y|t?2?1f(2)2?310,f(t)t
,).102210,12). ????10分
故所求学习效率指数的取值范围是(20．解：（1）?f?(x)?1x,直线l是函数f(x)?lnx的图象在点（1，0）处的切线。
?其斜率为k?f?(1)?1,
?直线l的方程为y?x?1 ??????1分
又因为直线l与g(x)的图象相切，
?y?x?1129????x?(m?1)x??0,12722?y?x?mx?22?得??(m?1)?9?0?m??2(m?4不题意,舍去).???3分2
（2）由（1）知g(x)?12x?2x?272,
?h(x)?f(x?1)?g?(x)?ln(x?1)?x?2(x??1), ?h?(x)?1x?1?1??xx?1(x??1). ??????4分
当?1?x?0时,h?(x)?0;当x?0时,h?(x)?0.
于是，h(x)在(?1,0)上单调递增,在(0,??)上单调递减。 ????5分 所以，当x?0时,h(x)取得最大值h(0)?2. ????6分
（3）由（2）知：当?1?x?0时,h(x)?2,即ln(1?x)?x；????8分
当0?a?1时,?1?a?12?0,
?ln(1?,
a?12)?a?12. ????10分
?f(1?a)?f(2)?ln1?a2ca221．解：（1）由题意知e?所以e2?12?ca22?6a?ba?22?14,即a22?43b.2
2又因为b?1?13,所以a?4,b?3.故椭圆C的方程为
x24?y23?1. ??????2分
（2）由题意知直线PB的斜率存在，设直线PB的方程为y?k(x?4).
?y?k(x?4),?22222由?x2得(4k?3)x?32kx?64k?12?0. ????① y??1.?3?4设点B(x1,y1),E(x2,y2),则A(x1,?y1).直线AE的方程为y?y2?令y?0,得x?x2?y2?y1x2?x1.(x?x2).
y2(x2?x1)y2?y1将y1?k(x1?4),y2?k(x2?4)代入整理得， 得x?2x1x2?4(x1?x2)x1?x2?8. ??????②
由①得x1?x2?32k4k22?3,x1x2?64k4k22?12?3代入②整得，得x?1.
所以直线AE与x轴相交于定点Q（1，0） ????6分 （3）当过点Q的直线MN的斜率存在时，
设直线MN的方程为y?m(x?1),且M(xM,yM),N(xN,yN)在椭圆C上。
?y?m(x?1)?22222由?x2得(4m?3)x?8mx?4m?12?0,易知??0,y??1?43?所以xM?xN?8m224m?3,xMxN?4m?124m?35m?124m?32222,yMyN????54?9m224m?3332,
则OM?ON?xMxN?yMyN??24(4m?3).因为m?0,所以?114??54).334(4m?3)2?0,所以OM?ON?[?4,?
,其方程为x?1.54,当过点Q的直线MN的斜率不存在时解得M(1,32),N(1,?32),此时OM?ON??[?4,?54所以OM?ON的取值范围是
]. ??????10分
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