湖北省黄冈中学2010年秋季高一期末考试
数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．sin450?的值为（ D ）
A．?1
B．0
C．
21 D．1
解析：∵sin450??sin(360??90?)?sin90??1，∴选“D”．
2．已知向量a?(3,4),b?(sin?,cos?)，且a?b，则tan?等于（ B ） A．?34 B．
b34 C．?，∴tan??????3443 D．
34解析：∵a?，∴3cos??4sin?，∴选“B”．
3．在?ABC中，?A?90?，AB?(k,1),AC?(2,3)，则k的值为（ D ） A．5
????????
???? B．?5
?3?0
??
32C．
23 D．?32
解析：∵AB?AC，∴2k，得k?，∴选“D”．
4．在下列函数中，图象关于直线xA．
y?sin(2x??3对称的是（ C ）
)?3) B．y??sin(2x??6 C．y??sin(2x??6) D．y?sin(x2??6)
解析：∵图象关于直线x“C”．
?3对称，∴将x?3代入，使得y达到最大值或最小值，故选
25．若???{x|x?a,a?R}，则a的取值范围是（ A ）
A．[0,??) B．(0,??) C．(??,0]
2 D．(??,0) ，即x2?a2解析：∵??∴{x|x?{x|x?a,a?R}，
?a,a?R}??有解，∴a?0，选“A”．
6．设P?log23,Q?log32,R?log2(log32)，则（ A ）
A．R?Q?P B．P?R?Q C．Q?R?P D．R?P?Q 解析：∵P?log23?1,Q?log32?(0,1),R?log2(log32)?0，∴选“A”． 7．若
f(x)??x?2ax2与g(x)?ax?1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是（ D ）
C．(0,1)
D．(0,1]
a?1．
A．(?1,0)?(0,1) 故选“D”．
B．(?1,0)?(0,1]
解析：f(x)图象的对称轴为x?a．∵f(x)与g(x)在区间[1,2]上都是减函数，∴0?8．求下列函数的零点，可以采用二分法的是（ B ） A．
f(x)?x4 B．
f(x)?tanx?2??(??2?x??2)
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C．f(x)?cosx?1 D．f(x)?|2?3|
x解析：∵二分法只适用于求“变号零点”，∴选“B”．
9．某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体调查结果如下表：
表1 市场供给表
单价（元/kg） 供给量（1000kg） 2 50 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90 表2 市场需求表
单价（元/kg） 需求量（1000kg） 4 50 3.4 60 2.9 65 2.6 70 2.3 75 2 80 根据以上提供的信息，市场供需平衡点（即供给量和需求量相等时的单价）应在区间
（ C ）
A．(2.3,2.4)内 B．(2.4,2.6)内 C．(2.6,2.8)内 D．(2.8,2.9)内 解析：通过两张表格寻找“上升趋势”与“下降趋势”的交汇点，知选“C”． 10．函数y?sin(?x??)(??0,|?|??2)的图象的一部分
y 1 ?3如图所示，则?、?的值分别为（ D ）
A．1，
?3
?3
B．1，?D．2，
?4(7?12??3 7?12
x C．2，??3 ，∴
2???O ?1 解析：∵最小正周期为T(7?12,?1)在图象上，∴sin(2??3)???7?6，得??2?2，∴y?sin(2x??)．∵点，得??2k??5?37?12??)??1，得???2k??,k?Z．又∵
|?|??2，∴令k?1，得???3．故选“D”．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上． 11．若
2A?{x|x?x?a?0}，且1?A，则a的取值范围为 ．【a?2．
?2】
解析：∵1?A，∴12?1?a?0，得a12．若向量a,b的夹角为150?，|a|?3,|b|?4，则|2a?b|的值为 ．【2】 解析：∵|2a?b|2?(2a?b)2∴|2a?b|?2．
13．若f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)?解析：∵
f(x)?g(x)?1x?1g(x)?1?x?11x?1?4a?4a?b?b?4|a|?4|a||b|cos150??|b|?4，
2222，则f(x)? ．【
g(x)??1x?1xx?12】
，∴
f(?x)?g(?x)?，即?f(x)?，两式联
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立，消去g(x)得
f(x)?xx?12．
14．某商店经销某种商品，由于进货价降低了6.4%，使得利润率提高了8%，那么这种商品原来的利润率为 ．（结果用百分数表示）【注：进货价×利润率＝利润】【17%】
解析：设原来的进货价为a元，原来的利润率为x，则ax?a?6.4%?a?93.6%(，?x8?%)得x．
15．给出下列四个命题：
?17%①对于向量a,b,c，若a∥b，b∥c，则a∥c； ②若角的集合A?{?|?③函数y?2x?k?2??4,k?Z},B?{?|??k??2?4,k?Z}，则A?B；
的图象与函数y?x的图象有且仅有2个公共点；
④将函数f(?x)的图象向右平移2个单位，得到f(?x?2)的图象． 其中真命题的序号是 ．（请写出所有真命题的序号）【②④】
解析：对于①，∵当向量b为零向量时，不能推出a∥c，∴①为假命题；
对于②，∵集合A与B都是终边落在象限的角平分线上的角的集合，∴A?B，②为真命题；
对于③，∵(2,4)和(4,16)都是函数y在第二象限显然有一个交点，∴函数y?2xx的图象与函数y?x22的图象的交点，且它们的图
?2的图象与函数y?x的图象至少有3个交点，∴
③为假命题；
对于④，∵f(?x?2)?f[?(x?2)]，∴④为真命题．
综上所述，选择②④．
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知?是第二象限角，tan(?（1）求sin?和cos?的值； （2）求
sin(180???)cos(360???)tan(???270?)sin(?180???)tan(??270?)?270?)?15．
的值．
??5解析：（1）∵tan(?cos??2?270?)?15，∴?1tan??15，得tan??．∴sin?2?tan?1?tan?22?2526，
11?tan?2?126．∵?是第二象限角，∴sin?262652626,cos???2626．
（2）原式??cos??．
17．（本小题满分12分） 已知
f(x)?2sin(2x??3)?1．
（1）求f(x)的单调增区间；
（2）求f(x)图象的对称轴的方程和对称中心的坐标； （3）在给出的直角坐标系中，请画出f(x)在区间[???,]上的图象． 22湖北省黄冈中学2010年秋季高一期末考试数学试卷 第3页
解析：（1）由?[k???y 3 2 1 ?7??5????? ?? ? 4612? ?122123???? O 5? ? 7? 1264312212x
?1 ?2?2k??2x??3??2?2k?得f(x)的单调增区间为
?12,k??5?12](k?Z)．
(k?Z)得x?k?2（2）由2x?由2x??3?3?k???2k?2?5?12(k?Z)，即为f(x)图象的对称轴方程．
k?2??k?,k?Z得x???6．故f(x)图象的对称中心为(?6,1)(k?Z)．
（3）由
2x?f(x)?2sin(2x??3?3)?1知
?4?3 ?? ??2 0 ?25?12 2?3 x ??2??3??12?6?2f(x) 3?1 1 ?1133?1 故f(x)在区间[?
??,]上的图象如图所示． 22y 3 3?1 2 1 ?7??5????? ?? ? ? ? ?1212212346????5??7? O 4 126312212x
18．（本小题满分12分） 在?ABC中，AC?2,AB??1 ????????????3?1,?BAC?45?，BP?(1??)BA??BC(??0)，AP?22．
????????（1）求BA?AC的值；
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（2）求实数?的值；
????1????（3）若BQ?BC,AQ
4与BP交于点
??????????????M，AM??MQA
，求实数?的值．
C B ????????解析：（1）BA?AC?|BA|?|AC|?cos135???3?1．
（2）∵BP?(1??)BA??BC，∴BP?BA??(BC?BA)，即AP??AC，
????|AP|1又∵??0，∴???????|AC|2????????????????????????????????????????A P
．
B ??????????????，∴A∴MQ?Q?(??1)MQ，
M Q 1????AQ?C 1????(AB???????????????（3）设AB?b,AC?c．∵AM??MQ????BQ)?1??1??1
????1????????1????????131(AB?BC)?[AB?(AC?AB)]?b?c??14??144(??1)4(??1)??????????????．∵BM?BQ?QM??????????
?1??????????4?BC?MQ??b?c44(??1)4(??1)?，BP?4????????????????1????1?BA?AP??AB?AC??b?c22，且BM∥BP，∴
??44(??1)?12??4(??1)?(?1)，得?．
19．（本小题满分12分）
已知定义域为R的函数f(x)是以2为周期的周期函数，当x?[0,2]时，（1）求f(2011)的值；
（2）求f(x)的解析式；
（3）若g(x)?f(x)?lgx，求函数g(x)的零点的个数． 解析：（1）f(2011)?f(1)?0． （2）对于任意的
x?R2f(x)?(x?1)2．
，必存在一个k?Z，使得x?(2k,2k?2]，则x?2k?(0,2]，．故f(x)的解析式为
f(x)?(x?2k?1),x?(2k,2k?2](k?Z)．
2f(x)?f(x?2k)?(x?2k?1)（3）由g(x)?0得f(x)?lgx．作出y?f(x)与y?lgx的图象，知它们的图象在(0,10]上有10个交点，∴方程g(x)?0有10个解，∴函数g(x)的零点的个数为10．
20．（本小题满分13分）
已知定义在R上的函数f(x)满足：①对任意的x、y?R，都有f(x)?f(y)?f(x?y)；②当x?0时，有f(x)?0．
（1）利用奇偶性的定义，判断f(x)的奇偶性；
（2）利用单调性的定义，判断f(x)的单调性； （3）若关于x的不等式f(k?3x)?解析：（1）令x?y?0f(3?9?2)?0在Rxx上有解，求实数k的取值范围．
，得f(0)?f(0)?f(0)，得f(0)?0．将“y”用“?x”代替，得f(x)?f(?x)?f(0)?0，即f(?x)??f(x)，∴f(x)为奇函数．
（2）设x1、x2?R，且x1?x2，则f(x1)?f(x2)?f(x1)?f(?x2)?f(x1?x2)． ∵x1?x2，∴x1?x2?0，∴f(x1?x2)?0，即f(x1)?f(x2)，∴f(x)在R上是增函数． （3）方法1 由f(k?3x)?xxf(?3?9?2)得k?3??3?9?2xxx，即k?3?x23x?1对x?R有
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