第一章 函数、极限和连续
§1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念
1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
?f(x)x?D12.分段函数: y??
?g(x)x?D23.隐函数: F(x,y)= 0
-1
4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f(y)
-1
y=f (x)
定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：
-1-1-1
y=f(x), D(f)=Y, Z(f)=X
且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性
1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),
则称f(x)在D内单调增加( )；
若f(x1)≥f(x2),
则称f(x)在D内单调减少( )；
若f(x1)＜f(x2),
则称f(x)在D内严格单调增加( )；
若f(x1)＞f(x2),
则称f(x)在D内严格单调减少( )。
2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)
3.函数的周期性：
周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数
4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b)
㈢ 基本初等函数
1.常数函数： y=c ， (c为常数)
n
2.幂函数： y=x , (n为实数)
x
3.指数函数： y=a , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x
y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x
6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数
1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)
y=f[φ(x)] , x∈X
2.初等函数:
由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数
§1.2 极 限
1
一、 主要内容 ㈠极限的概念
1. 数列的极限:
称数列
limn??yn?A
?yn?以常数A为极限;
或称数列?yn?收敛于A.
定理: 若
?yn?的极限存在??yn?必定有界.
f(x)的极限：
2.函数的极限： ⑴当x??时，
limf(x)?A?x????f(x)?A limf(x)?A??limx??x????⑵当x?x0时，f(x)的极限：
x?x0limf(x)?A
左极限：x?x?0 右极限：
x?x0limf(x)?A
limf(x)?A
?⑶函数极限存的充要条件： 定理：x?xlimf(x)?A?lim?f(x)?lim?f(x)?A
0x?x0x?x0
㈡无穷大量和无穷小量 1．
无穷大量：
limf(x)???
称在该变化过程中
X再某个变化过程是指：
f(x)为无穷大量。
??x?x,x?xx???,x??, x???,00,x?x0
2． 无穷小量：limf(x)?0
称在该变化过程中
f(x)为无穷小量。
无穷小量还具有下列性质：?
1.有限多个小无穷小量之和仍是无穷小量。?
2.有限多个无穷小量之积仍是无穷小量，事实上由极限的性质可得。? 3.无穷小量与有界之积仍是无穷小量。?
2
x→0时， (arc)sinx～x， (arc)tanx～x，1－cosx～1/2xe^x-1 ~x , ln(1+x)~x, a^x-1~xlna , (1+x)^a-1~ax 3． 无穷大量与无穷小量的关系： 定理：limf(x)?0?lim4．
2
1???,(f(x)?0) f(x)无穷小量的比较：
⑴若lim??0,则称β是比α较高阶的无穷小量；
? ⑵若lim ⑶若limlim??0,lim??0
?，则称β与α同阶的无穷小量； ?c （c为常数）
???1，则称β?与α是等价的无穷小量，记作：β～α；
⑷若lim???,则称β是比α较低阶的无穷小量。
?
定理：若：
?1~?1，?2~?2；
?1?1lim?lim 则：?2?2
㈢两面夹定理 1． 数列极限存在的判定准则： 设：yn?xn?zn （n=1、2、3?） 且： limyn?limzn?a
n??n?? 则： n??limxn?a
2． 函数极限存在的判定准则： 设：对于点x0的某个邻域内的一切点 （点x0除外）有：
g(x)?f(x)?h(x)
且：x?x 则：
limg(x)?limh(x)?A
0x?x0x?x0limf(x)?A
㈣极限的运算规则 若：limu(x) 则：①
?A,limv(x)?B
lim[u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B
u(x)?v(x)]?limu(x)?limv(x)?A?B ②lim[③limu(x)limu(x)A?? (limv(x)v(x)limv(x)B?0)
lim[u1(x)?u2(x)???un(x)]
?limu1(x)?limu2(x)???limun(x)
推论：①
3
②lim[c?u(x)]?③lim[u(x)]
㈤两个重要极限
nc?limu(x)
?[limu(x)]n
sinxsin?(x)lim?1lim?1 1． 或 x?0?(x)?0x?(x)1xx 2．lim(1?)?e lim(1?x)?e
x?0x??x§1.3 连续
一、 主要内容 ㈠ 函数的连续性 1. 函数在x0处连续： 1 2
o
1f(x)在x0的邻域内有定义，
?x?0o
lim?y?lim[f(x0??x)?f(x0)]?0
?x?0x?x0limf(x)?f(x0)
?x?x0 左连续： 右连续：
limf(x)?f(x0)
?x?x0limf(x)?f(x0)
2. 函数在 定理：函数在
x0处连续的必要条件：
f(x)在x0处连续?f(x)在x0处极限存在
f(x)?f(x0)?limf(x)?limf(x)?f(x0) ??x?x0x?x0x0处连续的充要条件：
x?x0 定理：lim3. 函数在
?a,b?上连续：
f(x)在?a,b?上每一点都连续。 在端点a和b连续是指：
x?a?x?blimf(x)?f(a) 左端点右连续；
limf(x)?f(b) 右端点左连续。 ?
+- a 0 b x 4. 函数的间断点： 若
f(x)在x0处不连续，则x0为f(x)的间断点。
间断点有三种情况： 1f（x）在
x?x0o
x0处无定义；
o
2limf(x)不存在；
3f（x）在
o
x0处有定义，且limf(x)存在，
x?x0lim 但x?x
0f(x)?f(x0)。
4
两类间断点的判断：
o
1第一类间断点：
特点：limf(x)和limf(x)都存在。 ?x?x0?x?x0可去间断点：limf(x)存在，但
x?x0x?x0o
limf(x)?f(x0)，或f(x)在x0处无定义。
2第二类间断点：
f(x)至少有一个为∞， 特点：limf(x)和lim??x?x0x?x0 或limf(x)振荡不存在。
x?x0无穷间断点：
?x?x0limf(x)和limf(x)至少有一个为∞
?x?x0㈡函数在1. 设
o
x0处连续的性质
连续函数的四则运算：
x?x0x?x0limf(x)?f(x0)，limg(x)?g(x0)
1 x?x0o
lim[f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
0lim[ 2 x?xo
f(x)?g(x)]?f(x0)?g(x0)
0f(x)f(x0)?lim?limg(x)?0??? 3 x ?x0g(x)?x?x?g(x0)2.
复合函数的连续性：
y?f(u),u??(x),y?f[?(x)]
x?x0 lim?(x)??(x0),u??(x0)limf(u)?f[?(x0)]
x?x0lim 则：x?x0f[?(x)]?f[lim?(x)]?f[?(x0)]
3.
y?f(x),x?f(x),y0?f(x0)
x?x0反函数的连续性：
?1 limf(x)?f(x0)?limf?1(y)?f?1(y0)
y?y0㈢函数在[a,b]上连续的性质 1.最大值与最小值定理：
f(x)在[a,b]上连续?f(x)在[a,b]上一定存在最大值与最小值。
y y
+M M
f(x) f(x) 0 a b x m -M
5