第35课时 解直角三角形
(60分)
一、选择题(每题6分，共24分)
1．[2016·长沙]如图35－1，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为 30
A.tanα m
(C)
图35－1
B．30sinα m D．30cosα m
C．30tanα m
2．[2016·南充]如图35－2，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔为2海里的点A处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB
图35－2
长是
(C)
A．2海里 B．2sin55°海里 D．2tan55°海里
C．2cos55°海里
AB
【解析】 根据余弦函数定义“cosA＝PA”得AB＝PA×cosA＝2cos55°.故选C. 3．[2016·济宁]如图35－3，斜面AC的坡度(CD与AD的比)为1∶2，AC＝35 m，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连，若AB＝10 m，则旗杆BC的高度为 A．5 m
B．6 m
(A)
图35－3
C．8 m D．(3＋5)m
【解析】 设CD＝x，则AD＝2x，
由勾股定理可得，AC＝5x，∵AC＝35 m，∴5x＝35， ∴x＝3 m，∴CD＝3 m，∴AD＝2×3＝6 m，
在Rt△ABD中，BD＝8 m，∴BC＝8－3＝5 m.
4．[2016·衡阳]如图35－4，为了测得电视塔的高度AB，在D处用高为1 m的测角仪CD，测得电视塔顶端A的仰角为30°，再向电视塔方向前进100 m到达F处，又测得电视塔顶端A的仰角为60°，则这个电视塔的高度AB(单位：m)为
(C)
图35－4
A．503 B．51 D．101
C．503＋1
【解析】 由矩形CDFE，得DF＝CE＝100 m，由矩形EFBG，得CD＝GB＝1 m，因为∠ACE＝30°，∠AEG＝60°，所以∠CAE＝30°，所以CE＝AE＝3100 m．在Rt△AEG中，AG＝sin60°·AE＝2×100＝503 m，所以AB＝503＋1.故选C.
二、填空题(每题6分，共18分)
5．[2016·邵阳]如图35－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2 000 m，则他实际上升了__1__000__m.
【解析】 图35－5过点B作BC⊥水平面于点C， 在Rt△ABC中，
∵AB＝2 000 m，∠A＝30°，
1∴BC＝AB·sin30°＝2 000×2＝1 000(m)．
6．[2016·宁波]如图35－6，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼的C处测得旗杆底端B的俯角
第5题答图 图35－51
图35－6
为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，若旗杆与教学楼的距离为9 m，则旗杆AB的高度是__9＋33__m．(结果保留根号) 【解析】 在Rt△ACD中， AD∵tan∠ACD＝CD， AD
∴tan30°＝9， ∴AD＝33 m，
在Rt△BCD中，∵∠BCD＝45°，∴BD＝CD＝9 m， ∴AB＝AD＋BD＝33＋9(m)．
7．[2016·潍坊]观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图35－7，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°.已知楼房高AB约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是__135__m. 【解析】 ∵爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°，
AB在Rt△ABD中，tan30°＝AD， 453
∴AD＝3，∴AD＝453，
∵在楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°， ∴在Rt△ACD中，
CD＝AD·tan60°＝453×3＝135(m)． 三、解答题(共20分)
8．(10分)[2016·台州]如图35－8，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知枕
图35－7
头上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直．现调节靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处．求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米？(结果取整数)
(参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
图35－8
解：如答图，过点A′作A′B⊥AO，交AO于B点，在Rt△A′BO中
OBcos35°＝OA′，OB＝OA′·cos35°＝80×0.82＝65.6≈66， ∴AB＝80－66＝14 cm， 答：降低了14 cm.
第8题答图
9．(10分)[2016·遂宁]如图35－9，一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10 m到点D，再次测得点A的仰角为30°，求树高．(结果精确到0.1 m．参考数据：2≈1.414，3≈1.732)
图35－9
解：由题意，∠B＝90°，∠D＝30°，∠ACB＝45°，DC＝10 m， 设CB＝x，则AB＝x，DB＝3x，
∵DC＝10 m， ∴3x＝x＋10， ∴(3－1)x＝10， 解得x＝
103－1
＝53＋5≈5×1.732＋5≈13.7.
答：树高为13.7 m.
(24分)
10．(12分)[2016·成都]如图35－10，登山缆车从点A出发，途经点B后到达终点C，其中AB段与BC段的运行路程均为200 m，且AB段的运行路线与水平面的夹角为30°，BC段的运行路线与水平面的夹角为42°，求缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离．(参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90)
图35－10
解：在直角△ADB中，
∵∠ADB＝90°，∠BAD＝30°，AB＝200 m， 1
∴BD＝2AB＝100 m， 在直角△CEB中，
∵∠CEB＝90°，∠CBE＝42°，CB＝200 m， ∴CE＝BC·sin42°≈200×0.67＝134 m， ∴BD＋CE≈100＋134＝234 m.
答：缆车从点A运行到点C的垂直上升的距离约为234 m.