江苏省数学竞赛辅导讲义
一、 极限与连续 二、 理论中心
1、 极限计算 （1） 数列极限 A. 单调有界原理 B. 夹逼准则 C. 和式极限
1)
111?????? 1*22*3n（n+1）2) 化到定积分 （2） 函数极限
A. 两个重要极限
B. 无穷小代换，泰勒公式 C. 洛必达法则（七种未定型）
0?、、???、0*?、00、1?、?0 0?三、 例题中心
1、设x1?2,xn?1?12 (xn?)(n?1,2,3???),证明lim存在并求其值。n??2xn（对于递推关系，一般运用单调有界原理）
分析:
12xn?1?(xn?)?2(n?1,2,3???)??????{xn}有下界2xn现在只需要证明单调递减即：xn?1?xn2xn?212即：xn?1?(xn?)??xn2xn2xn22即：xn?2?2xn,得到xn?2成立
12对xn?1?(xn?)两边取极限，设limxn?an??2xn12则a=(a?)?a?2。2a11????,求limxn。2、设xn?1?
n??1?11?2?3????n1122???1?2?3?????nn（n-1）nn?121222222代入得：xn?1??（-）+（?）+???+（-）22334nn?1
52=?2n?15lim?n??23、lim
1123n?1(sin??sin??sin??????sin?) n??nnnnnn?1（一化到积分）
1i12lim?sin?*??sin?xdx? n??nn0?i?14、求lim3x?5的值。x??31xsin2x
3x?53x?51lim?lim??3x??31x??x12xsin2xsin2xx5、lim??a?a?????a??x?0n??x1x2xn1x?a1,a2,???an?0?
?a?a?????a?令y???n??xxln（a1x?a2?????an）?lnnlny?xxxln（a1x?a2?????an）?lnn0limlny?lim(型)x?0x?0 x0xxa1xlna1?a2lna2?????anlnan?limxxx?0a1x?a2?????an?ln(a1?a2???an)x?01n1nx1x2xn1x所以limyn?(a1?a2???an)6、lim?lim?cos??x??n???2?xxx??cos2???cosn?? 222??xxxx?n?(cos?cos???cos)?sin?22nn??2222lim?lim??n??xnx??2?sinn2??2???sinx?lim?lim?n??nxx?2sinn2??2?sinx??lim???x??x?2?2?????
?四、作业练习
（1. limn??111++???+） 22n2（n+1）（2n）
（2. limn??nnn++???+） 2222n?1n?4n?n
3. limnn??（n+1）（n+2）（n+3）???（n+n）
n
（1+2x）ln（1+4. limlnx??3） x
5. limx??x?x-x
6. 设f(x)有一阶导数且f(0)=f’(0)=1,求
lim?1?fx?0?x??1ln（1+x）
7. 设a1?c?0，an?1?c+an。证明liman存在并求其值。
n??