抛物线焦点弦性质总结 一、基础回顾： A'A(X1,Y1)C'C(X3,Y3)aOFB'B(X2,Y2) 1. 以AB为直径的圆与准线L相切； x1?x2?p22. 4; 3. y1?y2??p2; 4. ?AC'B?90?; 5. ?A'FB'?90?; 6. AB?x1?x2?p?2(x3?p2)?2psin2?; 7.
1AF?12BF?P; 8. A、O、B'三点共线； 9. B、O、A'三点共线； 10. Sp2?AOB?2sin?； S211. ?AOB?(p)3AB2（定值）
；
1
12. AF?'PP；BF?；
1?cos?1?cos?'13. BC垂直平分BF； 14. AC垂直平分AF；
'15. CF?AB；
''16. AB?2P； 17. CC'?18. KAB=11AB?(AA'?BB')； 22p； y3y2; x2-p219. tan?=220. A'B'?4AF?BF; 21. C'F?1A'B'. 222. 切线方程 y0y?m?x0?x?
性质深究
一)焦点弦与切线
1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有
何特殊之处？ 结论1：交点在准线上
先猜后证：当弦AB?x轴时，则点P的坐标为??证明: 从略
结论2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴
结论3 弦AB不过焦点即切线交点P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴． 2、上述命题的逆命题是否成立？
结论4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点 先猜后证：过准线与x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点AB的弦必过焦点． 结论5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径．
??p? ,0?在准线上．
2? 2
3、AB是抛物线y2?2px（p＞0）焦点弦，Q是AB的中点，l是抛物线的准线，AA1?l，
BB1?l，过A，B的切线相交于P，PQ与抛物线交于点M．则有
结论6 PA⊥PB． 结论7 PF⊥AB． 结论8 M平分PQ．
结论9 PA平分∠A1AB，PB平分∠B1BA． 结论10 FA?FB?PF 结论11 S?PABmi?np 二)非焦点弦与切线
思考：当弦AB不过焦点，切线交于P点时，也有与上述结论类似结果： 结论12 ①xp?22y?y2y1y2，yp?1
22p结论13 PA平分∠A1AB，同理PB平分∠B1BA． 结论14 ?PFA??PFB 结论15 点M平分PQ 结论16 FA?FB?PF
2二、经典问题：
（1）抛物线——二次曲线的和谐线
椭圆与双曲线都有两种定义方法，可抛物线只有一种：到一个定点和一条定直线的距离相等的所有点的集合.其离心率e=1，这使它既与椭圆、双曲线相依相伴，又鼎立在圆锥曲线之中.由于这个美好的1，既使它享尽和谐之美，又生出多少华丽的篇章.
例1、P为抛物线y?2px上任一点，F为焦点，则以PF为直径的圆与y轴（ ）
2A.相交 B.相切 C.相离 D.位置由P确定
解 如图，抛物线的焦点为F??p?,0?，准线是 ?2?YHQNPM2p.作PH⊥l于H，交y轴于Q，那么PF?PH， 2p且QH?OF?.作MN⊥y轴于N则MN是梯形PQOF的
2l:x??
OF(p,0)l:x=-p2X3
y=2px2中位线，MN?111OF?PQ?PH?PF.故以 ??222PF为直径的圆与y轴相切，选B.
注：相似的问题对于椭圆和双曲线来说，其结论则分别是相离或相交的. （2）焦点弦——常考常新的亮点弦
有关抛物线的试题，许多都与它的焦点弦有关.理解并掌握这个焦点弦的性质，对破解这些试题是大有帮助的.
例2、 过抛物线y2?2px?p?0?的焦点F作直线交抛物线于A?x1,y1?,B?x2,y2?两点，求证： （1）AB?x1?x2?p （2）证明（1）如图设抛物线的准线为l，作
112?? AFBFppAA1?lA1,BB1?l于B1，则AF?AA1?x1?，
2pBF?BB1?x2?.两式相加即得：AB?x1?x2?p
2（2）当AB⊥x轴时，有
YA1A(x,y)11X?AF?BF?p，112??成立； AFBFpFB1B(x,y)22l当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：
p?p???y?k?x??.代入抛物线方程：k2?x???2px.化简得：
2?2???p22kx?p?k?2?x?k?042222?1?
k2∵方程（1）之二根为x1，x2，∴x1?x2?.
4x1?x2?p111111??????pp2 AFBFAA1BB1x?px?px1x2??x1?x2??122224x1?x2?px1?x2?p2??. 22pppp?x1?x2?p?p??x1?x2??2424? 4
故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有
112??成立. AFBFp（3）切线——抛物线与函数有缘
有关抛物线的许多试题，又与它的切线有关.理解并掌握抛物线的切线方程，是解题者不可或缺的基本功.
例3、证明：过抛物线y2?2px上一点M（x0，y0）的切线方程是：y0y=p（x+x0） 证明 对方程y2?2px两边取导数：2y?y??2p，?y??p.切线的斜率 yk?y?x?x0?pp.由点斜式方程：y?y0??x?x0??y0y?px?px0?y02y0y0?1?
2 y0y=p（x+x0） ?y0?2px0，代入（）即得：1（4）定点与定值——抛物线埋在深处的宝藏
抛物线中存在许多不不易发现，却容易为人疏忽的定点和定值.掌握它们，在解题中常会有意想不到的收获.
例：1.一动圆的圆心在抛物线y?8x上，且动圆恒与直线x?2?0相切，则此动圆必过定点 （ ）
2A.?4,0?B.?2,0?C.?0,2?D.?0,?2?
显然.本题是例1的翻版，该圆必过抛物线的焦点，选B. 2.抛物线y?2px的通径长为2p；
3.设抛物线y?2px过焦点的弦两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?，那么：y1y2??p2
22以下再举一例
例4、设抛物线y?2px的焦点弦AB在其准线上的射影是A1B1，证明：以A1B1为直径的圆必过一定点
分析：假定这条焦点弦就是抛物线的通径，那么A1B1=AB=2p，而A1B1与AB的距离为p，可知该圆必过抛物线的焦点.由此我们猜想：一切这样的圆都过抛物线的焦点.以下我们对AB的一般情形给于证明.
证明：如图设焦点两端分别为A?x1,y1?,B?x2,y2?，
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