?y?x?m解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中－5＜m＜0 由方程组?2,
?y?4xyN消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为 (－5，0),设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1?m) 点A到直线
oMBAxl
22?2m?5?m?5?m3
2m)·(5+m)(5+m)≤2()=128 ∴S△≤82,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等
3的距离为d=
5?m ∴S△=2(5+m)1?m,从而
S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－
号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82
解法二 由题意，可设l与x轴相交于B（m,0）, l的方程为x = y +m,其中0＜m＜5
?x?y?m由方程组?2,消去x,得y 2－4 y －4m=0 ①∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，
y?4x?∴方程①的判别式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,设M(x1,y1),N(x2,y2)则y 1+ y 2=4， y 1·y 2=－4m,∴S△=
1151(5?m)|y1?y2|?(5?m)(y1?y2)2?4y1y2＝4(?m)22223(1?m) 51?51?(?m)?(?m)?(1?m)??515122=4(?m)(?m)(1?m)?4?22??82∴S△≤82,当且仅
22223????当(?521m)?(1?m)即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为82 223已知O为坐标原点，P(a,0)(a?0)为x轴上一动点，过P作直线交抛物线y?2px(p?0)于A、
B两点，设S△AOB=t?tan?AOB，试问：a为何值时，t取得最小值，并求出最小值。 解：交AB与x轴不重叠时，设AB的方程为y?k(x?e)
?y?k(x?a)22222联立?2 消y可得：kx?2(ka?p)x?ka?0
?y?2px设A(x1,y1) B(x2,y2) 则x1x2?a2，y1y2??2Pa 交AB与x轴重叠时，上述结论仍然成立 SOAOB?11OA?OBsin?AOB?OA?OBcon?AOB?lin?AOB∴ 22 11
t?1OA?OBcon?AOB2又∴
OA?OB?con?AOB?OA?OB?x1x2?y1y2p21121212t?(x1x2?y1y2)?(a?2ap)?(a?p)?p≥?当a?p时 取“=”， 综上 当22222e?p时 tmin相关考题
p2??
21、已知抛物线x2?4y的焦点为F，A，B是抛物线上的两动点，且AF??FB（?＞0），过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M， （1）证明：FM?AB的值；
（2）设?ABM的面积为S，写出S?f???的表达式，并求S的最小值．
2、已知抛物线C的方程为x?4y，焦点为F，准线为l，直线m交抛物线于两点A，B； （1）过点A的抛物线C的切线与y轴交于点D，求证：AF?DF；
（2）若直线m过焦点F，分别过点A，B的两条切线相交于点M，求证：AM⊥BM，且点M在直线l上．
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3、对每个正整数n，An?xn,yn?是抛物线x2?4y上的点，过焦点F的直线FAn交抛物线于另一点
Bn?sn,tn?， （1）试证：xn?sn??4（n≥1）
（2）取xn?2n，并Cn为抛物线上分别以An与Bn为切点的两条切线的交点，求证：
FC1?FC2???FCn?2n?2?n?1?1（n≥1）
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