一、操作问题
13、在下面的图形中，有一个旋转或翻转后与其他图形不完全相同，这个图形是( )。(2014第五届高思杯3年级)
答案：D。
解析：可以似A图形为例，B、C、D图形依次旋转或翻转到与A有一个小长方形的位臵是相同的，再进行比较是否完全相同。如果B、C、D图形旋转或翻转后与A都不完全相同！那么A就是与其他图形不一样的。本题答案是D。
4、如下左图是圆形跑道，跑道上有12个饮水点。动物运动会上，小鸡位于饮水点B提供饮水服务。小鸭从饮水点A第1次饮水后，沿跑道的顺时针方向跑动。小鸭每次饮水后，再跑过4个饮水点，到下一个饮水点就饮水一次。已知小鸭跑了43圈，问：小鸭在小鸡服务的饮水点饮水多少次？
小鸭饮水的位置的编号是： 。(2014第五届两岸四地中年级组2试)
答案：9。 解析： 自A点开始，给饮水点编号：A点编号为1，依次顾时针为2，3，4，…，12，B点编号为7，如图。
小鸭饮水的位臵的编号是：第1圈是1，6，11;第2圈是4，9；第3圈是2，7，12；第4圈是5，10；第5圈是3，8；第6圈是1，6，11，
其中只在小鸡的7号站引水1次。即小鸭每跑5圈，饮水位臵循环1次， 因为43=5×8+3，小鸭在小鸡服务的饮水点饮水共9次。
10、如下图，从A点出发，要求每条路都必须经过，但都恰好只走一次，最后回到A点。那么，满足条件的走法有 种。(2014第五届两岸四地中年级组1试)
D E
F
答案：32。
解析：从A出发有2种选择，不妨设从A到D，那必须将其它路都走完，最后由E回A．去掉AD、AE后，图可变为右图．右图中从D出发，要使每条路线恰走一遍，最后走到E点，途中D、E、F被路过的次数分别为1次，1次，2次．
按树形枚举，不同的“蛙跳方式”只有以下4类： （1）D-E-F-D-F-E； （2）D-F-E-D-F-E； （3）D-F-E-F-D-E； （4）D-F-D-E-F-E．
每一类“蛙跳方式”所对应的走法都有2×2=4种．
所以，从A出发每条路线恰好走一遍回到A点的走法共有2×4×4 = 32种走法．
8、老师共买了53支铅笔，分给了A，B，C，D四个同学，分到最多的与最少的铅笔数相差不到5支。如果B把分到的铅笔全部给A，那么A的铅笔数是C的2倍；如果B把分到的铅笔全部给C，那么C的铅笔数是D的2倍，由此可知，B分到 支铅笔。(2014第五届两岸四地中年级组1试)
答案：15。
解析：设A，B，C，D分到的铅笔数分别是A，B，C，D， 由B＋C＝2D，知C、D、B依次成等差数列，设公差为K； 由A＋B＝2C，知A、C、B依次成等差数列，则公差为2K； 由4人铅笔数相差不会超过4，所以K＝0或1； 若K＝0，则4×B＝53，但53不是4的整数倍；
若K＝1， A＜C＜D＜B，则4×C＋1＝53，C＝13，B＝15．
A＞C＞D＞B，则4×C－1＝53，但54不是4的整数倍． 综上所述，B分到15支铅笔．
2、如下图，圆圈上有7个点，每个点处放有一个盒子，每个盒子里装有棋子的数目见该点处的数字。老师让7名小朋友分别站在盒子旁做传棋子游戏：小朋友们同时将自己面前盒子里的一半棋子放到逆时针相邻的盒子里，然后老师向只有奇数枚棋子的盒子里放一枚棋子。重复上述传递方式20次后，老师共向所有的盒子里放了 枚棋子。(2014第五届两岸四地高年级组2试)
答案：42。
解析：每次传递后盒子里棋子数目变化如下： 第1次：8，4，6，8，10，12，14，放6枚； 第2次：12，6，6，8，10，12，14，放6枚； 第3次：14，10，6，8，10，12，14，放6枚； 第4次：14，12，8，8，10，12，14，放4枚； 第5次：14，11，10，8，10，12，14，放4枚； 第6次：14，14，12，10，10，12，14，放4枚； 第7次：14，14，14，12，10，12，14，放4枚； 第8次：14，14，14，14，12，12，14，放4枚； 第9次：14，14，14，14，11，12，14，放2枚； 第10次：14，14，14，14，14，14，14，放2枚； 第11次：14，14，14，14，14，14，14，放O枚；
共计放入3×6+5×4+2×2=42（枚）。
6、如图所示，由75个小方格组成了15×5的图案，图中一些小方格已经被涂上了阴影，现在要继续把一些空白的小方格涂上阴影，保证任意2×2的方格中阴影小方格的数量都多于一半，那么最少需要再把______个空白小方格涂上阴影．(2014第五届两岸四地高年级组1试)
答案：17。
解析：不存在右图四种情况的相连空白格（即任意两个空白格不存在公共顶点）将空白格分成如图不相连的7块．
其中D、G两块为5×1，每块至少需要涂
F 其中2个格子；同理，C、F两块，每块至少
A B C D G 需要涂其中1个格子．
E 而对于A块，可分为1块5×1和1块2
×1，所以至少需要涂其中2+1=3个格子．B块与A块完全相同．
而对于E块，可分为1块5×1和1块2×2，2×2中不能有任何2块空白，所以2×2中至少需要涂上三个格子，这样E块至少需要涂其中2+3=5个格子．
综上所述，A、B、C、D、E、F、G这7块依次分别至少需要涂上3、3、1、2、5、1、2个格子，那么一共至少
涂上3+3+1+2+5+1+2=17(个) 格子．
右图，给出了一种构造（实际上只有E、F这2块各有2种选择，其它阴影格子
都是惟一选择）．
22.如图所示，靠近墙角的地上有一个5行5列的表格，表格中的每个小方格都是边长力1分米的小正方形。有一个边长为1分米的立方体木块，六个面上分别写着A、B、C、D、E、F；从三个不同的角度看，如右下图所示。一开始把立方体木块放在右上角的位置，如图所示。请问从这个位置开始，沿着箭头指向滚动到放五角星位置，这时立方体木块朝下面上的字母是______。(2014巨人杯3年级)
答案：E。
分析：首先分析一下整个滚动的过程：向左滚2次，向下滚2次，再向左滚2次，再向下滚2次。相当于向左滚了4次，向下也滚了4次。其中向左滚4次和原木块保持一致，向下滚4次也和原木块保持一致。那么滚到五角星位臵的时候，立方体木块应该和初始状态保持一致，这时朝下的字母就是A对面的字母，由第一个图可判断A和B、C不对面，由第三个图可判断A和D、F不对面，那么A对面的只能是E．这时立方体木块朝下面的字母是E。
15、下图中，至少拿掉_____根小棍，可以使得剩下的图形中没有任何正方形。(2014第五届高思杯2年级)
答案：6。
解析：本题的火柴棒图形中，小正方形有9个，4个小正方形组成的中正方形有4个，9个小正方形组成的大正方形有1个，共有9+4+1=14个。如图1所示，火柴棒可分为加粗的外围火柴棒、中间火柴棒、圈出的内部火柴棒。当拿掉1根外围火柴棒时，会减少1个小正方形、1个中正方形、1个大正方形，共3个正方形；当拿掉1根中间火柴棒时，会减少2个小正方形、1个中正方形，共3个正方形；当拿掉1根内部火柴棒时，会减少2个小正方形、2个大正方形，共4个正方形。首先，要去掉大正方形，必须拿掉1根外围火柴棒，剩下14-3=11个正方彤，由于大正方形已被减去，此时剩下的外围火柴棒每拿掉1根最多只能去掉2个正方形。
因此接下来拿掉内部火柴棒。
如图2所示，由于右上角拿掉了：根火柴棒，因此内部火柴棒1和4只能减少3个正方形，因此可以拿去2和3中的一根，还剩下11-4=7个正方形，其中有6个小正方形，1个中正方形。此时剩下的中间火柴棒拿掉1根只能去掉2个正方形。
如图3所示，此时剩下6个小正方形和1个中正方形，必须拿掉中正方形周围的1根火柴棒，可以发现，其中拿捧火柴棒5可以去掉正方形数最多，包括2个小正方形和1个中正方形，此时还剩下7-3 -4个正方形。
如图4所示，此时还剩下4个小正方形，尝试可知，至少拿掉3根火柴棒可以去掉这4个小正方形。
综上所述，至少去掉6根火柴棒可以使得一个正方形也不留下，如图5所示（情况不唯一）。
n14、将每个最简分数（其中m，n为互质的非零自然数）染成红色或蓝色，
m染色规则如下：1）将1染成红色；2)相差为1的两个数颜色不同，3）不为1的数与其倒数颜色不同。
20132问：和分别染成什么颜色？(2014第十九届 “华罗庚金杯”高年级组C)
20147
答案：蓝，红。
201420132014解析：1是红色，那么与1的差小于1也是红色，所以是的
20132014201311313倒数就是蓝色。与1的差小于1，所以是红色，而与的差是1，所以
2222253752是蓝色，而与的差是1，所以是红色，与的差有是1，所以是蓝色，
222277是的倒数就是红色。 2