13、如下图，圆周上均匀地标出十个点，将1～10这十个自然数分别放到这十个点上，用过圆心的一条直线绕圆心旋转，当线上没有标出的点时，就把1～10分成两组，对每种摆放方式，随着直线的转动有五种分组方式，对于每种分组都有一个两组数和的乘积，记五个积中最小的值为K。问所有的摆放中，K最大为多少？(2014第十九届 “华罗庚金杯”高年级组C)
答案：756。
解析：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55，而，最小五个数的和为15，最大的五个数的和为40，两个数的和一定，差越大乘积就越小。而最大的是27×28=756.是否存在这样一种可能，有一种摆放，五个分组方式中每种分组两组数的和都是最大，实验得出符合条件的摆法如下。所以K最大为756.
11、上面有一颗星、两颗星和三颗星的积木分别见下图的(a)，(b)和(c)。现有5块一颗星，2块两颗星和1块三颗星的积木，如果用若干个这些积木组成一个五颗星的长条，那么一共有多少种不同的摆放方式？(下图(d)是其中一种摆放方式。）(2014第十九届 “华罗庚金杯”高年级组C)
答案：13。
解析：枚举5=3+2=2+3=3+1+1=1+3+1=1+1+3=2+2+1=1+2+2=2+1+2
=2+1+1+1=1+2+1+1=1+1+2+1=1+1+1+2=1+1+1+1+1，共13
种。
14、将边长是7的大正方形分割为边长分别是1，或2，或3的小正方形。其中至少有多少个边长是1的正方形？在图中画出你的分割方法。
答：至少有 个边长是1的正方形。（不用写出推算过程）(2014第十二届小学“希望杯”2试6年级)
答案：3。
解析：至少有3个边长是1的正方形。 如图（答案不唯一）：
16、如下图，在一个圆周上有3个1，进行如下操作：在相邻的两个数之间写上它们的和。如：第1次操作后，圆周上有6个数：1，2，1，2，1，2。如此操作3次。问：
(1)此时圆周上有多少个数？
(2)此时圆周上的所有数的和是多少？(2014第十二届小学“希望杯”2试5年级)
答案：24；81。
解析：(1)最初，圆周上有3个数。
第1次操作后，圆周上有3+3=6（个）数； 第2次操作后，圆周上有6+6 =12（个）数； 第3次操作后，圆周上有12+12 =24（个）数。
(2)每次操作，新增的数是原来相邻的两个数的和，而原来的数各被加了2次，则新增的数的和是原来的数的和的2倍，即操作后圆周上的数的和是原来的3倍。
最初，圆周上的3个数的和是1×3=3。 第1次操作后，圆周上的数的和是3×3=9; 第2次操作后，圆周上的数的和是3×9=27; 第3次操作后，圆周上的数的和是3×27=81。
20、黑板上写着一个九位数222222222，对它做如下操作：擦掉末位数后又乘4，再加上刚擦去的数字，然后在黑板上写下得到的数，??，如此操作下去，直到在黑板上写下的是一个一位数，那么，它是______。(2014第十二届小学“希望杯”Ⅰ试4年级)
答案：6
解析：这个数一定是偶数。
设为1 0m+n，变形后4m+n，两次相差6m，相当于每次操作减少6的倍数，所以每次操作后得到的数除以6的余数不变。
原数除以6的余数为0，所以最后得到的一个一位数是：6。
25、如图在一张4×4的方格纸上标有16个汉字， 将纸片平放在桌子上，并按下列顺序对折四次： (1)将下半截对折盖住上半截； (2)将上半截对折盖住下半截； (3)将左半截对折盖住右半截；
(4)将右半截对折盖住左半截。
这时从上往下数第八层上所标的汉字是______。 (2014巨人杯6年级)
答案：孝。
22、有1008个花坛，其中任意两个花坛所在位置的正中间都必须安装一个喷水龙头，那么通过合理安排花坛的位置，最少安装______个喷水龙头就够用了。（花坛大小忽略不计）(2014郑州超常班5年级)
答案：2013。
解析：把花坛看成点，由1008个点连接每两点的线段只有有限条，所以必有一条最长者。设AB为诸线段中最长者。
1A与其他1007个点连线的中点均在以A为圆心，AB为半径的圆的内部或
2圆周上。
1B与其他1007个点连接的中点均在以B为圆心，AB为半径的圆的内部或
2圆周上。
所以至少有2×1007 -1= 2013个中点，即理论上水龙头数量不能比2013少。
下面我们构造恰有2013个水龙头的例子： 在直线上等间距取1008个点即可满足要求。
5、将一个自然数施行如下操作：第一次将2014的末两位数字的积写在它的后面得20144，第二次将20144的末两位数字的积写在它的后面得2014416，第三次将2014416的末两位数字的积写在它的后面得20144166，如此继续，那么，第2014次操作后所得的多位数的末两位数字是______。(2014浙江省“我爱数学杯”5年级)
答案：32。
解析：我们将这一串数依次写下来，直到末两位数字重复为止：
(1) 20144,(2)2014416, (3) 20144166,(4)2014416636,(5)201441663618,
(6) 2014416636188,(7)201441663618864,(8)201441663618864 24, (9)201441663618864248, (10)20144166361886424832,
(11) 2014416613618864248326,(12) 20144166361886424832612,
(13) 201441663618864248326122, (14) 20144166361886424832612
24 ,
(15)20144166361886424832612248,??
前面7次操作没有规律，以后每6次操作一个循环。
因为(2014—7)÷6=334……3，
所以，第2014次操作后所得的多位数的末两位数字是32。
10、在如下(1)，(2)，(3)，(4)这四个小长方形的图案中，有哪些是右边的大图案中没有放缩的截图？（包括旋转后的截图），请写出所有是截图的小长方形编号：______。(2014浙江省“我爱数学杯”4年级)
答案：(1)(3)(4)。
12、在如下四个小长方形的图案中，有______个图案是右边的大图案中没有放缩的截图（包括旋转后的截图）。(2014浙江省“我爱数学杯”3年级)
答案：3个，
解析；是A、C、D。
12、公元20××年，人类在太阳系某一区域的同一平面内按3×3的方阵建立了9个太空站（如图）。每两个太空站之间都有运输船按直线往返航行，那么所有这些航线中，有____种不同长度的航线。 (2014秋·武汉明心数学3年级)
答案：5。
解析：如上右图。
8、如下图，六边形ABCDEF由五个单位正方形组成，称能平分此六边形面积的直线为“好线”。则好线的条数为下列选项中的____。(2014春·武汉明心5年级)
A．l B．2 C．3 D．无数
答案：D。
解析：设CD中点为H，矩形ABCH、矩形EFHD的中心分别为O1、O2。则O1O2为一条好线，且过线段O1O2的中点M的直线（与线段DE有交点）均为好线。
2、现有1克、2克、4克、8克四种重量的砝码各一个，每次称重至多只能使用其中的三个砝码，且只能放在天平的一端，那么一次称量共可以称出______种不同重量。(2014“陈省身杯”5年级)
答案：14种。
解析：若没有选取限制，则有16-1=15种选法，减去选择4个砝码的情况，有14种。
18、(1)图A中有6个结点和9条边，用1、2、3、4、5、6六个数字分别标注在6个结点上。将每条边也标上数字，使标上的数字等于两个端点的数字之和。 问能否做到每条边上标的数字不同？若能，请在图中给出一种标注方法（结点和边都要标注数字）；若不能，请说明理由。(2)图B中也有6个结点和9条边，用1、2、3、4、5、6六个数字分别标注在6个结点上。将每条边也标上数字，使标上的数字等于两个端点的数字之和。
问能否每条边上标注的数字不同？若能，请在图中给出一种标注方法（结点和边都要标注数字）；若不能，请说明理由。(2014第十二届“创新杯”6年级)
答案：可以；不可能。
解析：(1)如图所示，在图A中可以达到题中要求。
(2)如图B，设六个结点分别标上a1,a2,a3,a4,a5,a6，则9边上分别标上： a1?a4，a1?a6，a2?a4，a2?a5，a3?a5，a3?a6，a4?a6，a4?a5，a5?a6，
所以9个边上9个数之和：
S?2a1?2a2?2a3?4a4?4a5?4a6?2?a1?a2?a3?2a4?2a5?2a6? ，从而
S为偶数。因此，现在边上标注的数最小可能是1+2=3，最大可能是5+6=11，2S，
由于有9条边，可推断每条边上的标注的数若都不相同，它们应该是3、4、5、
6、7、8、9、10、11，这些数的总和是S?63，是奇数，因此，题中的要求不可能达到。