2018年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分． 一．选择题
题号 答案
二．填空题
1 B 2 D 3 A 4 B 5 C 6 C 7 D 8 A 9 B 10 C 11 B 12 D 13. ?2 14. ① ③ ④ 15. ?120 16. 三、解答题
222217. (1)证明: 由an?1?3an?2anan?1, 得an?1?2anan?1?3an?0
13?3 8得?an?1?an??an?1?3an??0, ………………………………………………1分 由已知an?0, 得an?1?an?0,
所以an?1?3an. ………………………………………………2分 所以数列?an?是公比为3的等比数列. ………………………………………………3分 由a2?a4?3?a3?3?, 得3a1?27a1?39a1?3, …………………………………4分 解得a1?3, ………………………………………………5分 所以an?3. ………………………………………………6分
数学（理科）试题 第6页 （共18页）
n??
?an?1?2an?122?3?0, 另法: 由an, 且, 得a?0?3a?2aa???n?1nnn?1aan?n? 得?2?an?1??an?1??1???3??0, ………………………………………………1分 ?an??an?an?1?1?0, an 由已知an?0, 得
所以
an?1?3?0, 即an?1?3an. ………………………………………………2分 an 所以数列?an?是公比为3的等比数列. ………………………………………………3分 由a2?a4?3?a3?3?, 得3a1?27a1?39a1?3, ……………………………………4分 解得a1?3, ………………………………………………5分 所以an?3n. ………………………………………………6分 (2)解法1：由bn?nan?n?3, 则Sn?b1?b2?b3?2n???bn?1?bn
3 ?3?2?3?3?3???n?1??3n?1?n?3n, ① ……………………………7分 ??n?1??3n?n?3n?1, ② ……………………………8分
?3n?n?3n?1 ………………………………………9分
3Sn?32?2?33?3?34? ①?②得?2Sn?3?3?3?23 ?3?1?3n?1?3?n?3n?1 ………………………………………………10分
??3?1??n??3n?1?. ………………………………………………11分
2?2? 所以Sn???n1?n?13???3?. ………………………………………………12分 24?4?数学（理科）试题 第7页 （共18页）
解法2：由bn?nan?n?3???n?1????3n?1??n???3n，……………………8分
4?4??2?2n?13??13?则Sn?b1?b2?b3? ???bn?1?bn
?121??33?3??3???3?444???12??3??4??54?3???433??3??4? ?? ????1n???23?n?1????3???n?14??23n?1???3???4????1???n?1????23?n?1?13?n??3?n????3? ?4?4?2??………………………………………………10分
?3?n1?n?1?????3. ………………………………………………12分 4?24?18. (1) 证明: 取AC的中点O, 连接AO1,BO,
由于△ABC是正三角形, 则BO?AC.………………………………………………1分 因为平面A1ACC1?平面ABC, 且平面A1ACC1所以BO?平面A1ACC1.
所以?OA1B与平面A1ACC1所成的角. ……………………………………2分 1B是直线A依题意得?OA1B?60. ………………………………………………3分 由于△ABC是边长为1的正三角形, 则BO??平面ABC?AC,BO?平面ABC
3. 2在Rt△AOB中, AO?11BO1?. ………………………………………………4分
tan?OA1B2由于A1A?AC?AC. 1, 则AO1?OA?OC?因为AO11?, 则?OAA. ??OAA??OAC?451112?所以?AAC??OA1A??OAC?90. ………………………………………………5分 11所以A1A?AC1. ………………………………………………6分
数学（理科）试题 第8页 （共18页）
(2) 解法1: 过A作AD?A1B于D, 连接CD,
在△A中, AB?BC,A1AB和 △ACB11A?AC1,A1B?A1B, 所以△A.…………………………………7分 1AB≌△ACB1 所以CD?A1B, 且CD?AD.
A1DOBB1CC1A所以?ADC是二面角A?A1B?C的平面角. ……………………………………8分 在Rt△AOB中, A1B?1在Rt△AOA中, A1A?122AO?BO?1, ……………………………………9分 12AO?AO2?12, ……………………………………10分 2由S?A1AB117?1???A1A?AB2??A1A???A1B?AD, 解得AD?, 2224??2则CD?AD?7. ……………………………………11分 4AD2?CD2?AC21??. 在△ADC中, cos?ADC?2?AD?CD7?C的余弦值为?所以二面角A?A1B1. ………………………………12分 7解法2: 由(1)可得AO?平面ABC, ……………………………………7分 1 以O为原点, OB所在直线为x轴, OC所在直线为y轴, OA1所在直线为z轴,建立空
??1??1??31??,0,0,C0,,0,A0,0,间直角坐标系O?xyz, 则A?0,?,0?,B????1??.…8分 ??2222????????所以AB???31??31?11??11??,,0,AA?0,,,BC??,,0,CA?0,?,?. ???11????22???22??22?????22?z设平面A1AB的法向量为n1??x1,y1,z1?, 由n1?AB?0, n1?AA1?0,
A1B1AOBxCyC1数学（理科）试题 第9页 （共18页）
?31x?y?0,??2121得? 令x1?1, 得y1??3,z1?3. ?1y?1z?0,11??22所以平面A1AB的一个法向量为n1?1,?3,3.……………………………………9分 设平面A1BC的法向量为n2??x2,y2,z2? 由n2?BC?0, n2?CA1?0,
???31?x2?y2?0,??2得?2 令x2?1, 得y2?3,z2?3. ??1y?1z?0,22??22所以平面A1BC的一个法向量为n2?1,3,3.……………………………………10分 则cosn1,n2???1n1?n2??. ……………………………………11分
7n1n2而二面角A?A1B?C为钝角，
1. ……………………………………12分 719. 解: (1) 依题意, 该盒A产品可出厂即任取的4件产品都为合格品, ……………1分 ?C的余弦值为?所以二面角A?A1B44从10件中任取的4件的基本事件数为C10，4件都为合格品的事件数为C8, ……2分
C841故该盒A产品可出厂的概率为P?4?. ……………………………………3分
C103(2) (ⅰ) 该盒A产品的检验费用X?40元表示只检验4件产品就停止检验, ………4分 记“从该盒10件产品中任取4件产品都为合格品”为事件T1,
“从该盒10件产品中任取4件产品中, 2件为合格品, 2件为次品”为事件T2, 事件T1与事件T2为互斥事件, …………………………………………5分
21C82?C27 则P?X?40??P?T1?T2??P?T1??P?T2???. ……………7分 ?43C1015数学（理科）试题 第10页 （共18页）
(ⅱ) X的取值分别为40,50,60,70,80,90,100, ……………………………8分
3117C8?C2C14 P?X?40??, P?X?50??, ……………………………9分 ??4115C10C645311311111C8?C2C5C8?C2C5C1C4C144, , P?X?60?????PX?70???????4114111C10C6C545C10C6C5C445同理, P?X?80??444, P?X?90??, P?X?100??, ………………10分 454545 所以X的分布列为:
X 40 50 60 70 80 90 100
P 7444444 15454545454545………………11分
27444444?58EX?40??50??60??70??80??90??100?.
315454545454545…………………………………………12分
20. (1) 解: 因为F是抛物线C:x2?2py?p?0?的焦点, 所以点F的坐标为?0,??p??. 2?pp?3?, ……………………………1分 22 因为点R?0,2?, RF?3OF, 则2? 解得p?1或p??2（舍去）. ……………………………2分 所以抛物线C的方程为x?2y. ……………………………3分 (2) 解法1: 依题意, 设直线l的方程为y?kx?2?k?0?,
24?x??,?y??2,? 由? 解得?k
?y?kx?2,??y??2.数学（理科）试题 第11页 （共18页）