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2.8 对数与对数函数
●知识梳理 1.对数
（1）对数的定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b. （2）指数式与对数式的关系：
ab=N?logaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
两个式子表示的a、b、N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN. ②loga
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1） ④对数换底公式：logbN=
M=logM－logN.
aa
NlogaN（a＞0，a≠1，b＞0，b≠1，N＞0）.
logab2.对数函数
（1）对数函数的定义
函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. （2）对数函数的图象
ylogy= x a> 1( )a1O1x Ox logy= x
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称.
（3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R. ③过点（1，0），即当x=1时，y=0.
④当a＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a＜1时，在（0，+∞）上是减函数. ●点击双基
1.（2005年春季北京，2）函数f（x）=|log2x|的图象是
y 1 Oy 1 O1 x 1 x y 1 -1 O1 x A B y 1 O1 x C D
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?log2x,x?1,解析：f（x）=?
?logx,0?x?1.2?答案：A
－－
2.（2004年春季北京）若f 1（x）为函数f（x）=lg（x+1）的反函数，则f 1（x）的值域为___________________.
－
解析：f 1（x）的值域为f（x）=lg（x+1）的定义域. 由f（x）=lg（x+1）的定义域为（－1，+∞），
－
∴f 1（x）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）
3.已知f（x）的定义域为［0，1］，则函数y=f［log1（3－x）］的定义域是__________.
2解析：由0≤log1（3－x）≤1
2?log11≤log1（3－x）≤log12221 215≤3－x≤1?2≤x≤. 225答案：［2，］
2?4.若logx7y=z，则x、y、z之间满足 A.y7=xz C.y=7xz
B.y=x7z D.y=zx
解析：由logx7y=z?xz=7y?x7z=y，即y=x7z.
答案：B
5.已知1＜m＜n，令a=（lognm）2，b=lognm2，c=logn（lognm），则 A.a＜b＜c B.a＜c＜b C.b＜a＜c D.c＜a＜b 解析：∵1＜m＜n，∴0＜lognm＜1. ∴logn（lognm）＜0. 答案：D ●典例剖析
?1x?(),x?4,【例1】 已知函数f（x）=?2则f（2+log23）的值为
??f(x?1),x?4,A.
1 3 B.
1 6 C.
1 12 D.
1 24剖析：∵3＜2+log23＜4，3+log23＞4， ∴f（2+log23）=f（3+log23）=（
13+log31）. 2=224知识改变命运
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答案：D
【例2】 求函数y＝log2｜x｜的定义域，并画出它的图象，指出它的单调区间. 解：∵｜x｜＞0，
∴函数的定义域是｛x｜x∈R且x≠0｝.显然y＝log2｜x｜是偶函数，它的图象关于y轴对称.又知当x＞0时，y＝log2｜x｜?y＝log2x.故可画出y＝log2｜x｜的图象如下图.由图象易见，其递减区间是（－∞，0），递增区间是（0，＋∞）.
y-1O1x 评述：研究函数的性质时，利用图象更直观.
深化拓展
已知y=log1［a2x+2（ab）x－b2x+1］（a、b∈R+），如何求使y为负值的x的取值范围?
2提示：要使y＜0，必须a2x+2（ab）x－b2x+1＞1，即a2x+2（ab）x－b2x＞0. ∵b2x＞0，
a2xa）+2（）x－1＞0. bbaa∴（）x＞2－1或（）x＜－2－1（舍去）.
bbaaa再分＞1，=1，＜1三种情况进行讨论.
bbb∴（
答案：a＞b＞0时，x＞loga（2－1）；
ba=b＞0时，x∈R；
0＜a＜b时，x＜loga（2－1）.
b【例3】 已知f（x）=log1［3－（x－1）2］，求f（x）的值域及单调区间.
3解：∵真数3－（x－1）2≤3，
∴log1［3－（x－1）2］≥log13=－1，即f（x）的值域是［－1，+∞）.又3－（x－1）2＞0，
33得1－3＜x＜1+3，∴x∈（1－3，1］时，3－（x－1）2单调递增，从而f（x）单调递减；x∈［1，1+3）时，f（x）单调递增.
特别提示
讨论复合函数的单调性要注意定义域.
●闯关训练 夯实基础
1.（2004年天津，5）若函数f（x）=logax（0＜a＜1）在区间［a，2a］上的最大值是最小值的3倍，则a等于
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2211 B. C. D. 4242解析：∵0＜a＜1，∴f（x）=logax是减函数.
1∴logaa=3·loga2a.∴loga2a=.
3212∴1+loga2=.∴loga2=－.∴a=.
433答案：A
2.函数y＝log2｜ax－1｜（a≠0）的对称轴方程是x＝－2，那么a等于
11A. B.－ C.2 D.－2
221111解析：y=log2|ax－1|=log2|a（x－）|，对称轴为x=，由=－2得a=－.
2aaa答案：B 评述：此题还可用特殊值法解决，如利用（f0）=（f－4），可得0=log2|－4a－1|.∴|4a+1|=1. ∴4a+1=1或4a+1=－1.
1∵a≠0，∴a=－.
2－－
3.（2004年湖南，理3）设f 1（x）是f（x）=log2（x+1）的反函数，若［1+ f 1（a）］－
［1+ f 1（b）］=8，则f（a+b）的值为
A.1 B.2 C.3 D.log23
－－－
解析：∵f 1（x）=2x－1，∴［1+ f 1（a）］［1+ f 1（b）］=2a·2b=2a+b.由已知2a+b=8，∴a+b=3.
答案：C
4.（2004年春季上海）方程lgx+lg（x+3）=1的解x=___________________. 解析：由lgx+lg（x+3）=1，得x（x+3）=10，x2+3x－10=0. ∴x=－5或x=2. ∵x＞0，∴x=2. 答案：2
5.已知y=loga（3－ax）在［0，2］上是x的减函数，求a的取值范围.
解：∵a＞0且a≠1，∴t=3－ax为减函数.依题意a＞1，又t=3－ax在［0，2］上应
33有t＞0，∴3－2a＞0.∴a＜.故1＜a＜.
226.设函数f（x）=lg（1－x），g（x）=lg（1+x），在f（x）和g（x）的公共定义域内比较|f（x）|与|g（x）|的大小.
解：f（x）、g（x）的公共定义域为（－1，1）. |f（x）|－|g（x）|=|lg（1－x）|－|lg（1+x）|.
（1）当0＜x＜1时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=－lg（1－x2）＞0； （2）当x=0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=0；
（3）当－1＜x＜0时，|lg（1－x）|－|lg（1+x）|=lg（1－x2）＜0.
综上所述，当0＜x＜1时，|f（x）|＞|g（x）|；当x=0时，|f（x）|=|g（x）|；当－1＜ x＜0时，|f（x）|＜|g（x）|.
培养能力
7.函数f（x）=log2|x|，g（x）=－x2+2，则f（x）·g（x）的图象只可能是
A.
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y y O x O x A y B y O x O x C D 解析：∵f（x）与g（x）都是偶函数，∴f（x）·g（x）也是偶函数，由此可排除A、D.
又由x→+∞时，f（x）·g（x）→－∞，可排除B. 答案：C
8.若f（x）=x2－x+b，且f（log2a）=b，log2［f（a）］=2（a≠1）. （1）求f（log2x）的最小值及对应的x值；
（2）x取何值时，f（log2x）＞f（1）且log2［f（x）］＜f（1）？ 解：（1）∵f（x）=x2－x+b， ∴f（log2a）=log22a－log2a+b. 由已知有log22a－log2a+b=b， ∴（log2a－1）log2a=0. ∵a≠1，∴log2a=1.∴a=2. 又log2［f（a）］=2，∴f（a）=4. ∴a2－a+b=4，b=4－a2+a=2.
故f（x）=x2－x+2，从而f（log2x）=log22x－log2x+2=（log2x－∴当log2x=
127）+. 2417即x=2时，f（log2x）有最小值. 242??x?2或0?x?1?log2x?log2x?2?2（2）由题意? ???0＜x＜1.
2?1?x?2???log2(x?x?2)?2探究创新
9.（2004年苏州市模拟题）已知函数f（x）=3x+k（k为常数），A（－2k，2）是函数－
y= f 1（x）图象上的点.
－
（1）求实数k的值及函数f 1（x）的解析式；
－
（2）将y= f 1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）的图象，若2 f
－1
（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，试求实数m的取值范围.
－
解：（1）∵A（－2k，2）是函数y= f 1（x）图象上的点， ∴B（2，－2k）是函数y=f（x）上的点. ∴－2k=32+k.∴k=－3. ∴f（x）=3x－3.
－
∴y= f 1（x）=log3（x+3）（x＞－3）.
－
（2）将y= f 1（x）的图象按向量a=（3，0）平移，得到函数y=g（x）=log3x（x＞0），要使2 f
－1
（x+m－3）－g（x）≥1恒成立，即使2log3（x+m）－log3x≥1恒成立，所
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