南昌大学第十届高等数学竞赛(前湖校区理工类)试题答案
序号： 姓名： 学号: 学院（学科部）： 班级： 第 考场 考试日期： 2013年10月13日 题号 题分 得分 一 15 二 15 三 7 四 8 五 9 六 8 七 10 八 9 九 9 十 10 总分 100 累分人签名 注: 本卷共六页, 十道大题, 考试时间为8:30——11:30. 得分 评阅人 一、填空题(每题3分，共15分) 1、 曲面x2?2y2?3z2?21在点?1,?2,2?处的法线方程为3nx?1y?2z?2??. 1?461?x??1?x???1?x?1?2、设n为正整数，则lim=. x?1n!??????3、设向量a??1,2,3?，b??1,1,0?，若非负实数k使得向量a?kb与a?kb垂直，则k?
(1?x)n?17.
4、过直线x?1y?2z?2??2?32且垂直于平面3x?2y?z?5?0的平面方程为 x?8y?13z?9?0. ?n5、幂级数???1?n?212n?3x的收敛域为??2,2?. n??2n第 1 页 共 6页
二、单项选择题(每题3分，共15分) 得分 评阅人 1、设f?x??2x?3x?2，则当x?0时（ B ） (A) f?x?与x是等价无穷小. (B) f?x?与x是同阶但非等价无穷小. (C) f?x?是比x低阶的无穷小. (D) f?x?是比x高阶的无穷小. 2、x?0是f?x??2?12?11x1x的（ B ）. (A)可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 无穷间断点. (D)振荡间断点. ?g(x),x?0?3、设f?x???x其中g?x?在x?0的某个邻域内二阶导数存在，且g?0??0， ??0,x?0g??0??0，则（ C ） (A)f?x?在x?0处不连续. (B) f?x?在x?0处连续但不可导. (C) f?x?在x?0处可导，但导函数在x?0处不一定连续. (D) f?x?在x?0处导函数连续. 4、设线性无关的函数y1?x?，y2?x? ，y3?x? 均是二阶非齐次线性方程 y???p?x?y??q?x?y?f?x? 的解，c1,c2是任意常数，则该非齐次方程的通解是( D) (A) c1y1?c2y2?y3. (B) c1y1?c2y2??c1?c2?y3. (C) c1y1?c2y2??1?c1?c2?y3. (D) c1y1?c2y2+?1?c1?c2?y3. 5、设a为常数，则级数?sinna1???n2??（ A ）. n?n?1??(A) 发散. (B) 绝对收敛. (C) 条件收敛. (D) 敛散性与a的取值有关. 第 2 页 共 6页
得分 评阅人 三、（本题满分7分） 求极限limx2?lnarctan(x?1)?lnarctanx?. x???令f?t??lnarctant，则当x?0时，由拉格朗日中值定理得 lnarctan(x?1)?lnarctanx?11，x???x?1 2arctan?1??x212原式=lim? x???1??2arctan?? 得分 评阅人 四、（本题满分8分） ln?1?x?计算?dx. 01?x21令x?tant，则 ?原式=?40ln?1?tant?dt??4ln0?cost?sintdt cost?? =令t??2sin(t?ln??40cost4dt=4ln2dt??0)??40lnsin(t?)dt??4lncostdt 04?????u，则?4lnsin(t?)dt=??lnsin(?u)??du?=?4lncosudu=?4lncostdt 00044241ln?1?x??ln2 于是?=dx01?x28??0?第 3 页 共 6页
得分 评阅人 五、（本题满分9分） y 设y?y?x?由方程e?y?0etdt?ex?x?0，且y?0??0，求y?y?x?的最小值. y22两边对x求导得 ey??ey??ex?1?0 （＊） 于是y??yex?1yy2e?e令y??0得x?0 2 （＊）的两边再对x求导得 yyyyx e?y???ey???e2y?y???ey???e?0 222 令x?0得y??0??0，再把y?0??0代入上式得y???0??又驻点唯一，故y?y?x?的最小值为y?0??0。 1?0，所以y?0??0为极小值。2六、（本题满分8分） 得分 评阅人 已知fn?x?满足fn??x??fn?x??xn?1ex（n为正整数），且?efn?1??，求函数项级数?fn?x?的和函数. nn?1解方程fn??x??fn?x??xn?1ex得通解 dxn?1x??dxfn?x??e??xeedx?c???? ??n?x?x?c? =e??n?exxne由fn?1??得c?0，故fn?x?=， nn??exxnx?xn于是?fn?x?=?=e?=?exln?1?x?，x???1,1? n?1n?1nn?1n
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得分 评阅人 七、（本题满分10分） n ?n2?n?3?xn?1讨论级数??2x?0?的敛散性. ?n?n?2?n?3n?4?1?x? ?n2?n?3?xn?1令un?x???2 ?n?n?3n?4?1?x当0?x?1时，lim1?xn??n?1nn??1因而 limnun?x??limn??n?n?3n??n2?3n?42xn?1n1nn?1?x?=x?1，因而级数收敛 1?0，因而级数发散。 4n??2e1当x?1时，limun?x??4?0，因而级数发散。 n??xe当x?1时，limun?1?? 得分 评阅人 八、（本题满分9分） 计算???0e?2xsinxdx. nk??n?0e?2xsinxdx???k?1?k?1??e?2xsinxdx=??k?1n??1??k?1??k?ke?2xsinxdx 1?2k?k?2x2??1esinxdx?e1?e ??????k?1??5?2n?1??2?nn?11?e???2x2??2k?2?e??1?e?因而?esinxdx??1?e??e ?2?0551?ek?1当n??x??n?1??时 由于k??n?0e?2xsinxdx??e0x?2tsintdt???n?1??0e?2xsinxdx x???当n??时由夹逼准则得???0e?2xsinxdx=lim?x0e?2t1e2??1 sintdt?2?5e?1 第 5 页 共 6页
得分 评阅人 九、（本题满分9分） 计算曲面积分I???zdS，其中?为锥面z??x2?y2在柱体x2?y2?2x内的部分. ??z???z?dS?1??????d??2dxdy ??x???y?I?D:x2?y2?2x22??x2?y22dxdy =2 = 得分 ?????22d??2cos?0r2dr 322 9 评阅人 十、（本题满分10分） I?????计算曲面积分 ezx?y22dxdy， 其中?为曲面z?x2?y2与平面z?1,z?2所围立体的边界曲面，取外侧. 21Dz:x2?y2?z2I?????ezx?y2?z0022dxdydz=?dzz??ezx?y22dxdy =?21dz?d??edr=2??21zezdz =2?e2
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