2012年怀柔区高三年级调研考试 数 学（文）2012.4
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分． 1．已知全集U={一l，0，1，2}，集合A={一l，2}，则CUA?
A．{0,1}
B．{2}
C．{0，l，2} D．?
2．已知i为虚数单位，
z?2，则复数z? A．1?i B．1?i C．2i D．－2i i
3．“a=2”是“直线ax十2y=0与直线x+y=l平行”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．一个四棱锥的三视图如图所示，其中主图是腰长为1的等腰直角三角 形，则几何体的体积是
A．
13 B．1 C． D．2 22主视图
1 左视图 1 5．函数y?(sinx?cosx)2?1是
A．最小正周期为2?的奇函数 B．最小正周期为2?的偶函数 C．最小正周期为?的奇函数 D．最小正周期为?的偶函数
???????? P, Q, E, F, G, H，则OP?OQ? 6．如图所示的方格纸中有定点O,?????????????????A．OH B．OG C．EO D．FO 7．设x>1，S=min｛logx2，log2（4x3）｝，则S的最大值为
A．3
B．4 C． 5 D．6
，
且x???1,1?时，f?x??1?x， 2F E 俯视图
G O Q
P H 开 始 8．若函数y?f?x? ?x?R?满足f?x?2??f?x??lgx ?x?0??函数g?x???1，则函数h?x??f?x??g?x?在区间??5,5?内
??x ?x?0??的零点的个数为A．5 B．7
C．8 D．10
i=1, s=0 否 是 输出S 结 束 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．
1x9．函数f(x)?1?()的定义域是 . 210．如图给出的是计算1?s=s+ i=i+2
1i111??????的值的一个程序框图，其中判 352011断框内应填入的条件是 ．
??11．如图，?ABC中，?C?90，?A?30，BC?1．在三角形内挖去半圆（圆心O在边AC上，
半圆与BC、AB相切于点C、M，与AC交于N，见图中非阴影部分），则该半圆的半径长为 ． 12． 当x?(1,2)时，不等式(x?1)?logax恒成立，则实数a的取值范围为 ．
2
?x?y?2?13．已知不等式组?x?y??2表示的平面区域为M，若直线y?kx?3k?1与平面区域M有公共点，则k的取值范
?y?1?围是 ．
14．手表的表面在一平面上．整点1，2，…，12这12个数字等间隔地分布在半径为
2的圆周上．从整点i到整点（i2＋1）的向量记作titi?1，则t1t2?t2t3?t2t3?t3t4?????t12t1?t1t2＝ ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分13分）在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且a?5,b?3,sinC?2sinA. （Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求sin(2A??3)的值．
16．（本小题满分14分）如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧棱SC上一点．
（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证：SA∥平面BDE； （Ⅱ）求证：平面BDE?平面SAC．
17．（本小题满分13分）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求出表中M,p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10, 15)内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25, 30)内的概率．
S E D O B C A 分组 频数 10 24 频率 0.25 频率/组距 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 n p 0.05 1
a m 2 M 0 10 15 20 25 30 次数
18．（本小题满分13分）设a?R，函数f(x)?ax3?3x2． （Ⅰ）若x?2是函数y?f(x)的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g(x)?exf(x)在[0,2]上是单调减函数，求实数a的取值范围．
19．（本题满分14分）已知椭圆C的两焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，并且经过点M?1,22??3?（Ⅰ）求椭圆C的方程； ?．2?（Ⅱ）已知圆O:x?y?1，直线l:mx?ny?1，证明当点P?m,n?在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．
*20．（本题满分13分） 对于给定数列{cn}，如果存在实常数p,q使得cn?1?pcn?q对于任意n?N都成立，我们
称数列{cn}是“T数列”．（Ⅰ）若an?2n，bn?3?2n，n?N，数列{an}、{bn}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不是，请说明理由；（Ⅱ）证明：若数列{an}是“T数列”，则数列{an?an?1}也是“T数列”； （Ⅲ）若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2n(n?N*)，t为常数．求数列{an}前2013项的和．
*
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 A 5 C 6 D 7 A 8 C 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分． 9．[0,?) 10．i?2011 11．
3 312．(1,2] 13．[?,0) 14．63?9
13三、解答题：本大题共6小题，满分80分．
15．（本小题满分13分）
在△ABC中，角A、B、C的所对应边分别为a,b,c，且a?5,b?3,sinC?2sinA. （Ⅰ）求c的值； （Ⅱ）求sin(2A??3)的值．
casinC?a?2a?25-------------5分 ,所以c?sinCsinAsinA解：（Ⅰ）根据正弦定理，
c2?b2?a225?（Ⅱ）根据余弦定理，得cosA?
2bc5于是sinA?1?cosA?25 54 53………12分 5 从而sin2A?2sinAcosA? cos2A?cosA?sinA?22 所以sin(2A?
?3)?sin2Acos?3?cos2Asin?3?4?33-------------------13分 1016．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥S?ABCD中，底面ABCD是正侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O，E为侧（Ⅰ）当E为侧棱SC的中点时，求证： S 方形，其他四个E 棱SC上一点． D O B C A
SA∥平面BDE；
（Ⅱ）求证：平面BDE?平面SAC． 证明：（Ⅰ）连接OE，由条件可得SA∥OE. 因为SA?平面BDE，OEì平面BDE，
所以SA∥平面BDE.---------------------------------------------------7分 （Ⅱ）证明：由已知可得，SB?SD,O是BD中点，
所以BD^SO，
又因为四边形ABCD是正方形，所以BD^AC. 因为AC?SO?O，所以BD?面SAC.
A O B D C E S 又因为BD?面BDE，所以平面BDE?平面SAC.-----------14分 17．（本小题满分13分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：
（Ⅰ）求值； （Ⅱ）若估计该校数在区间
分组 频数 10 24 频率 0.25 频率/组距 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) 合计 出表中M,p及图中a的
a n p 0.05 1 m 2 该校高三学生有240人，试高三学生参加社区服务的次
M [10, 15)内的人数；
0 10 15 20 25 30 次数 （Ⅲ）在
务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人[25, 30)内的概率．
所取样本中，从参加社区服参加社区服务次数在区间
解：（Ⅰ）由分组[10,15)内的频数是10，频率是0.25知，
10?0.25， M所以M?40.------------------------------------------------------------------------------2分 因为频数之和为40，所以10?24?m?2?40，m?4.----------------------3分
p?m4??0.10.---------------------------------------------------------------------4分 M4024?0.12------6分 40?5因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商，所以a?（Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10,15)内的频率是0.25，
所以估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人--------8分 （Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m?2?6人， 设在区间[20,25)内的人为?a1,a2,a3,a4?，在区间[25,30)内的人为?b1,b2?. 则任选2人共有(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4),(a2,b1),