(a2,b2),(a3,a4)，(a3,b1),(a3,b2),(a4,b1),(a4,b2),(b1,b2)15种情况，-------------10分
而两人都在[25,30)内只能是?b1,b2?一种，------------------------------------------12分 所以所求概率为P?1?18．（本小题满分13分）
设a?R，函数f(x)?ax3?3x2．
（Ⅰ）若x?2是函数y?f(x)的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g(x)?exf(x)在[0,2]上是单调减函数，求实数a的取值范围． 解：（Ⅰ）f?(x)?3ax2?6x?3x(ax?2)．
因为x?2是函数y?f(x)的极值点，所以f?(2)?0，即6(2a?2)?0， 所以a?1．经检验，当a?1时，x?2是函数y?f(x)的极值点． 即a?1．----------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由题设，g'(x)?ex(ax3?3x2?3ax2?6x)，又e?0， 所以，?x?(0,2]，ax?3x?3ax?6x?0，
322x114?.（约为0.93）--------------------------------------13分 15153x2?6x3x?6?这等价于，不等式a?3对x?(0,2]恒成立．
x?3x2x2?3x令h(x)?'3x?6（x?(0,2]），
x2?3x3(x2?4x?6)3[(x?2)2?2]则h(x)?????0，---------------------------10分 2222(x?3x)(x?3x)（0,2]上是减函数， 所以h(x)在区间
所以h(x)的最小值为h(2)?所以a?6．----------------------------------------------------12分 566．即实数a的取值范围为(??,]．-----------------------------------13分 5519．（本小题满分14分）
已知椭圆C的两焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，并且经过点M?1,（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知圆O:x?y?1，直线l:mx?ny?1，证明当点P?m,n?在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交；并
22??3??． 2?求直线l被圆O所截得的弦长的取值范围．
x2y2解：（Ⅰ）解法一：设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab
由椭圆的定义知:
?3? 2a??1?1????0???2?223?222?0?1?1??????4,c?1,b?a?c?3 ?2?22得 a?2,b?3
x2y2??1.-------------------------- ---------------------------4分 故C的方程为43x2y2解法二：设椭圆C的标准方程为2?2?1(a?b?0)，
ab?3???213???2??1② 22 依题意，a?b?1①， 将点M?1,?坐标代入得2?ab2?2?x2y2??1.-------------------.4分 由①②解得a?4,b?3，故C的方程为43222m2n2m2n222??1，则m?n???1， （Ⅱ）因为点P?m,n?在椭圆C上运动，所以4343从而圆心O到直线l:mx?ny?1的距离d?1m?n22?1?r，
所以直线l与圆O相交.------------------------------------------------------------------8分 直线l被圆O所截的弦长为
L?21?d2?21?1?21?22m?n1?m22m?3??1?4??????21?112m?34
-----------------------------------------------------------------------------------10分
?0?m2?4?3?12111m?3?4,??, 44123m?34?26?L?3.-----------------------------------------------------------------------14分 320．（本题满分13分）
*对于给定数列{cn}，如果存在实常数p,q使得cn?1?pcn?q对于任意n?N都成立，我们称数列{cn}是 “T数列”．
*n（Ⅰ）若an?2n，bn?3?2，n?N，数列{an}、{bn}是否为“T数列”？若是，指出它对应的实常数p,q，若不
是，请说明理由；
（Ⅱ）证明：若数列{an}是“T数列”，则数列{an?an?1}也是“T数列”；
（Ⅲ）若数列{an}满足a1?2，an?an?1?3t?2n(n?N*)，t为常数．求数列{an}前2013项的和． 解：（Ⅰ）因为an?2n,则有an?1?an?2,n?N*
故数列{an}是“T数列”， 对应的实常数分别为1,2． 因为bn?3?2n，则有bn?1?2bn n?N
故数列{bn}是“T数列”， 对应的实常数分别为2,0．---------------4分 （Ⅱ）证明：若数列{an}是“T数列”， 则存在实常数p,q，
使得an?1?pan?q对于任意n?N都成立， 且有an?2?pan?1?q对于任意n?N都成立，
因此?an?1?an?2??p?an?an?1??2q对于任意n?N都成立，
****故数列?an?an?1?也是“T数列”．
对应的实常数分别为p,2q．------------------------------------8分
（Ⅲ）因为 an?an?1?3t?2n(n?N*) 则有a2?a3?3t?22，a4?a5?3t?24??，
，
a2010?a2011?3t?22010，a2012?a2013?3t?22012。
故数列{an}前2013项的和
S2013?a1?(a2?a3)?(a4?a5)?????(a2010?a2011)?(a2012?a2013)
?2?3t?2?3t?2?????3t?2242010?3t?22012?2?t(22014?4)
------------------------------------------------------13分