2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形
【基础知识回顾】 一、 成比例线段：
1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线
AB段的比就是它们 的比，即：=
CDa 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果
bac 3、比例的基本性质：=
bd<＝>
= 那么四条线段叫做同比例线段，简称
4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线
【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关 即比值没有
2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果 那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L
ACAB= ≈ 】
二、相似三角形：
1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边
⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于
1、 判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三
角形相似
⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶两角 的两三角形相似
⑷三组对应边的比 的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似
2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等相等一般
要先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】
三、相似多边形：
1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角 对应边
⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于
【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、 位似：
1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于
【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或
2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么
位似图形对应点的坐标的比等于 或 】 【典型例题解析】 考点一：比例线段
例1 （2012?福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号） 考点：黄金分割；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义． 分析：可以证明△ABC∽△BDC，设AD=x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值； 过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosA的值． 解答：解：∵△ABC，AB=AC=1，∠A=36°， 180???A∴∠ABC=∠ACB==72°． 2∵BD是∠ABC的平分线， ∴∠ABD=∠DBC=1∠ABC=36°． 2∴∠A=∠DBC=36°， 又∵∠C=∠C ∴△ABC∽△BDC， ∴ACBC=， BCCD1x?， x1?x设AD=x，则BD=BC=x．则解得：x=1?51?5（舍去）或． 22故x=1?5． 2如右图，过点D作DE⊥AB于点E， ∵AD=BD， 11AB=． 2215?1AE在Rt△AED中，cosA=． ?2=4AD5?12∴E为AB中点，即AE=故答案是：1?55?1；． 24点评：△ABC、△BCD均为黄金三角形，利用相似关系可以求出线段之间的数量关系；在求cosA时，注意构造直角三角形，从而可以利用三角函数定义求解． 对应训练 2．（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ） A．
5?15?1 B． C．5?1 D．5?1 22
考点：黄金分割．
分析：根据两角对应相等，判定两个三角形相似．再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出BD的长．
解答：解：∵∠A=∠DBC=36°，∠C公共， ∴△ABC∽△BDC，
且AD=BD=BC． 设BD=x，则BC=x，CD=2-x． BCAC?， CDBCx2?． ∴2?xx由于整理得：x2+2x-4=0， 解方程得：x=-1±5， ∵x为正数， ∴x=-1+5． 故选C． 点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，先用两角对应相等判定两个三角形相似，再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出BD的长．
考点二：相似三角形的性质及其应用
例2 （2012?重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 ． 考点：相似三角形的性质． 专题：探究型． 分析：先根据相似三角形的性质求出其相似比，再根据面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
解答：解：∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1， ∴三角形的相似比是3：1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9：1． 故答案为：9：1．
点评：本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 对应训练 2．（2012?沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ．
考点：相似三角形的性质． 专题：应用题．
分析：根据相似三角形周长的比等于相似比计算即可得解． 解答：解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴△ABC的周长：△A′B′C′的周长=3：4， ∵△ABC的周长为6， ∴△A′B′C′的周长=6×=8． 故答案为：8． 点评：本题主要考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
考点三：相似三角形的判定方法及其应用 例3 （2012?徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 431BC．图中相似三角形共有（ ） 4A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 考点：相似三角形的判定；正方形的性质． 分析：首先由四边形ABCD是正方形，得出∠D=∠C=90°，AD=DC=CB，又由DE=CE，FC= 1BC，证出△ADE∽△ECF，然后根据相似三角形的对应边成比例与相似三角形的对应角4相等，证明出△AEF∽△ADE，则可得△AEF∽△ADE∽△ECF，进而可得出结论． 解答：解：图中相似三角形共有3对．理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠C=90°，AD=DC=CB， ∵DE=CE，FC=1BC， 4∴DE：CF=AD：EC=2：1， ∴△ADE∽△ECF， ∴AE：EF=AD：EC，∠DAE=∠CEF， ∴AE：EF=AD：DE， 即AD：AE=DE：EF， ∵∠DAE+∠AED=90°， ∴∠CEF+∠AED=90°， ∴∠AEF=90°， ∴∠D=∠AEF， ∴△ADE∽△AEF， ∴△AEF∽△ADE∽△ECF， 即△ADE∽△ECF，△ADE∽△AEF，△AEF∽△ECF． 故选C．