2008《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷
一．填空题（满分15分，每小题3分）
x
6x??2???++9cos11xxxx???+?1+??=_________； 1.lim?x6?
22x→?∞????x??x+xsinx????
()2．曲线sin(xy)+ln(y?x)=2x在点A(0,1)处的切线方程为________________；
+∞
3．反常（广义）积分
∫
0
?2008128x2?
??1+ex+(1+x2)2??dx＝________________； ??
f(x)
4.函数f(x)在 x=2 的某个邻域内可导，且f′(x)=e
y
x
，f(2)=1，则f′′′(2)= ；
5.若f(u,v)可微，z=sin(x+y)f(x,y)，则函数z在点(1,2)处全微分dz(1,2)= ； 二．选择题（满分15分，每小题3分）
{xn}为数列，下列命题正确的是____； 1．设函数f(x,y)在(?∞,+∞)内单调有界，
(A)若{f(xn)}收敛,则{xn}收敛，(B)若{xn}收敛,则{f(xn)}收敛 (C)若{xn}单调,则{f(xn)}收敛， (D)若{f(xn)}单调,则{xn}收敛
2．某商品的需求函数为Q=360?6P，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于3，则商品的价格是________________； （A）30 （B）45 （C）35 （D）40
3．若函数f(x)在(?∞,+∞)内有定义，且x0是函数f(x)的极大值点，则 （A）在(?∞,+∞)内恒有f(x)≤f(x0)，（B）x0是f(x)的驻点
（C）?x0是函数?f(x)的极小值点，（D）?x0是函数?f(－x)的极小值点 4．设f(x,y)与?(x,y)均为可微函数，且?′y(x,y)≠0；若(x0,y0)为f(x,y)在约束条件?(x,y)=0下的一个极值点，下列选项中正确的是________________；
(A)若fx′(x0,y0)=0，则fy′(x0,y0)≠0 (B)若fx′(x0,y0)≠0，则fy′(x0,y0)≠0 (C)若fx′(x0,y0)=0，则fy′(x0,y0)=0 (D)若fx′(x0,y0)≠0，则fy′(x0,y0)=0
1
5．曲线y=e
x2
x2?x+1
的渐近线有________________； arctan
(x+1)(x?2)
38
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
?g(x)?e?x
, x≠0?
,其中g(x)有二阶连续导数,且三．（本题满分7分）设f(x)=?x
?0, x=0?
g(0)=1,g′(0)=?1；(1)计算f′(x) ，(2) 讨论函数f′(x)在(?∞,+∞)上的连续性。
四．（本题满分7分）设函数z=f(xy,e)+yg(x+cosy),其中f具有连续的二阶偏导数,
x
?z?2z?2z
,,2。 g具有连续的二阶导数，求
?x?x?y?x
五．（本题满分7分）已知曲线L:y=?bx+a,(a>0,b>0),求出a,b使得1. L与
2
y=1+x相切；2. L与x轴围成的图形，绕y轴一周所得的旋转体的体积最大。
六．（本题满分7分）设函数f(x,y)=x?y?(x,y)，其中?(x,y)在点(0,0)的一个邻域内连续，证明：f(x,y)在点(0,0)处可微的充要条件为?(0,0)=0。
π七．（本题满分7分）设积分
∫
0
sinxcosxcosx2dx。 ，计算dx=a∫20x+1(x+2)
π八．（本题满分7分）设函数f(x)，g(x)，在x∈(?∞,+∞)上f′′(x)≥0，在[0,a](a>0)
1a?1 a?上，g(x)连续，证明：∫f[g(t)]dt≥f?∫g(t)dt]?。
a0?a 0?
九．（本题满分7分）计算极限lim[(ne?1)(nn!)]。
n→∞
十．（本题满分7分）设函数f′′(x)在[0,1]上连续，且f(0)=f(1)=0，f′′(x)>0，
x∈[0,1]
minf(x)=?1，证明：maxf′′(x)≥8。
x∈[0,1]
十一．（本题满分7分）设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在(0,1)内可导，且证明：(1)至少存在u∈(0,1),使f(u)+u=1；(2)存在互异ξ,η∈(0,1),f(1)=1,f(0)=0，使得f′(ξ)f′(η)=1
十二．（本题满分7分）求抛物线弧段
[]x+y=a(a>0)上一点(ξ,η)，使此点的切线
与抛物线及两坐标轴所围成的图形面积最小，并计算此最小面积。
39
2009《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷
一．填空题（满分15分，每小题3分）
1?2?
?atanx+b(1?cosx)ex
+81．已知极限lim??x2x→0x?ln(1?2x)+c(1?e)
?
??
?=2，则a=__________； ??
2．函数y=y(x)由方程y?
∫
siny
ln(x+y)
e?tdt=0所确定，则dy(1,0)=_________；
2
3．积分
?(1+x)cosx3x2?+xe?dx=_________； ?∫ ?π2?1+sin2x
?
2
π4．设f(x)在x=0点可导，且lim5．已知
cosx?1
=1，则f′(0)=_______；
x→0ef(x)?1
∫
+∞
?∞
e
kx
dx=3,则k=________。
二．选择题（满分15分，每小题3分） 1．设lim
x→0y→0
f(x,y)+3x?4y
=2，则2fx′(0,0)+fy′(0,0)=_______； 22
x+y
（A）0 （B）3 （C）－2 （D）－3
2．某商品的需求函数为Q=360?8p，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于2，则商品的价格是________________； （A）20 （B）15 （C）10 （D）40 3．函数y=f(x)具有二阶连续导数， f′(0)=0，又lim
x→0
f′′(x)
=?2，则_____； x
（A）f(0)是曲线f(x)的极大值 （B）(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点； （C）f(0)是曲线f(x)的极小值； （D）以上答案均不正确.
4．二元函数f(x,y)在点（0，0）处可微的一个充要条件是________________；
(A)
[f(x,y)?f(0,0]=0， (B)(x,ylim
(x,y)→(0,0))→(0,0)
lim
x→0
f(x,y)?f(0,0)
x+y
2
2
=0
(C)lim
f(x,0)?f(0,0)f(0,y)?f(0,0)
=0,且lim=0,
y→0xy
y→0
(D)lim[fx′(x,0)?fx′(0,0]=0,limfy′(0,y)?fy′(0,0=0
x→0
[] 40
?1?
?ex+e?tanx????5．函数f(x)=在[?π,π]上的第一类间断点是x=______； 1
?x?
?x?ee?????
(A)1 (B)0 (C)? (D)
22
ππ?x21tf(tx)dt
?∫0
,x≠0?
， 三．（本题满分7分）f(x)>0,f′(x)连续，令?(x)=?xf(t)dt
∫?0??0, x=0
（2）讨论?′(x)的连续性。 （1）求?′(x)；
?x2x,x>0
四．（本题满分7分）设函数f(x)=?，求f(x)的极值。
?x+1,x≤0
五．（本题满分7分）设f(x)=
∫
x
0
e?y
2
+2y
dy，求积分∫(x?1)2f(x)dx。
0
1
2
??x=t?1
，其中t≥0，（1）讨论曲线L的凹六．（本题满分7分）已知曲线L的方程为?2
??y=4t?t
凸性；（2）过点(?1,0)引L的切线，求切点(x0,y0)，并写出切线的方程；（3）求此切线与
L（对应x≤x0的部分）及x轴所围成的平面图形A的面积。
七．（本题满分7分）设函数z=f(xy,y?2x)+g(x?siny),其中f(u,v)具有连续的二
?2z
。 阶偏导数, g具有连续的二阶导数，求dz,
?x?y
八．（本题满分7分）设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=a，
[]∫[f(x)?x]dx=0，证明：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得f′(ξ)=
a
b
f(ξ)?ξ+1。
xy
九．（本题满分7分）设f(x,y)有二阶连续偏导数，g(x,y)=f(e,x+y)，且
22
f(x,y)=1?x?y+o((x?1)2+y2)，证明：g(x,y)在(0,0)取得极值，并判断此极值
是极大值还是极小值，并求此极值。
十．（本题满分7分）设f(x)，g(x)在区间[?a,a](a>0)上连续，g(x)为偶函数，且f(x)
41
满足f(x)+f(?x)=A（A为常数），（1）证明：
∫
a
a
f(x)g(x)dx=A∫g(x)dx；（2）利
0
a
用（1）的结论计算定积分
∫
π2
?
π2
sinxarctanexdx。
n+1n
??11????2
十一．（本题满分7分）计算极限limn??1+???1+??
n→∞n1+??n??????
十二．（本题满分7分）设函数f(x)在a,b在上有连续的二阶导数，证明：在(a,b)内存在一点ξ使
[]∫
b
a
f(x)dx=(b?a)f(
a+b1
)+(b?a)3f′′(ξ)。 224
2010《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷
一.填空题 （满分18分，每题3分）
x
x+6???2??++?5xxcosx6xx1??2?= ； 1.极限lim?x??+??22x→?∞????x+1??x+xsinx????
?xe?x?sinx
?
2.若函数f(x)=?xn
?A?
2
x≠0x=0
连续，且实数A≠0，则n= ；A= ；
3.积分f(x)在x=1处具有连续导数，且f′(1)=10，则lim+
x→0
d
f(cosx)= ； dx
4.积分
x5?2?
xarcsinsinxsin2xcosxdx= ； +()()∫?π??4??
π+∞ah?1
=∫x2e?xdx，则a= ； 5.已知a>0，且lim
0h→0h+sinh
6.函数f(x)具有连续的偏导数，计算u=fx2+y2,sinπxz2
(())在点A(?1,0,1)处，沿方
???u
向l(?2,1,2)的方向导数???l
= 。 A
二.选择题（满分15分，每小题3分） 1.曲线y=e
1x?1
x2?x+2arctan的渐近线有 ； 2
x?1
（A）1条；（B）2条；（C）3条；（D）4条；
2.设函数f(x)在(?∞,+∞)上连续，F(x)为f(x)的原函数，则 ； （A）若f(x)为周期函数时，则F(x)必为周期函数；
42