（B）若f(x)为偶函数时，则F(x)必为奇函数； （C）若f(x)为奇函数时，则F(x)必为偶函数；
（D）若f(x)为单调递增函数时，则F(x)必为单调递增函数；
3.设f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处不可导的充要条件是 ； （A）f(a)=0，且f′(a)=0；（B）f(a)≠0，且f′(a)=0； （C）f(a)=0，且f′(a)≠0；（D）f(a)≠0，且f′(a)≠0；
?2xy+sin(x2+y2)
?
4.设z=?x2+y2
?0?
x2+y2≠0x2+y2=0
，则z=z(x,y)在点(0,0)满足 ；
（A）连续且偏导存在 （B）连续且不可微
（C）不连续但偏导存在 （D）不连续且偏导不存在
5.设u=f(x,y,z)为k次齐次函数，k为正整数，即f(tx,ty,tz)=tf(x,y,z)则
k
x
?f(x,y,z)?x
+y
?f(x,y,z)?y
+z
?f(x,y,z)?z
= 。
（A）f(x,y,z)（B）kf(x,y,z)（C）
1
f(x,y,z)（D）k3f(x,y,z) k
2x
nx
4020πx
三.（本题满分7分）计算极限lim?
?e+e+??+e?
?x→0n??
x
其中n为正整数。
四.（本题满分7分）计算不定积分
∫(x+2)(x2ex+2x)
2
dx。
πx
五.（本题满分7分）若f(x)在[?π,π]连续，且f(x)=+f(x)sinxdx计算
1+cos2x∫?π函数f(x)。
六.（本题满分7分） 计算极限lim?nn!sinn→∞
?(ne?1?。
?
)七.（本题满分7分）设抛物线y=ax+bx+2lnc，过原点，当0≤x≤1时，0≤y，又已知该抛物线与x轴及直线x=1所围成图形面积为周而成的旋转体体积V最小。
2
1
，试确定a,b,c，使此图形绕x轴一3
43
八.（本题满分7分）设函数z=u(x,y)e
ax+by
?2u
=0，试求，u(x,y)有二阶偏导数，且
?x?y
?2z?z?z
??+z=0成立。 a,b，使得
?x?y?x?y
且f′′(x)>0，九.（本题满分7分） 若f(x)在(?∞,+∞)有上连续的二阶导数，u(t)在[0,a]上连续，证明：
1a1a
(())(futdt≥fu(t)dt)。 ∫∫00aa
[a,b]十.（本题满分6分）若f(x)在[a,b]上有连续导数，f(a)=f(b)=0，M=maxf′(x)，证明：存在η∈[a,b]，使得f′(η)(b?a)≥4
2
∫
b
a
f(x)dx。
十一.（本题满分6分）（1）证明：当x充分小时，不等式0≤tan2x?x2≤x4成立； （2）设xn=
∑tan2
k=1
n
1，求limxn。
n→∞n+k十二.（本题满分6分） 某商品的需求函数为Q=360?6p，其中Q,p分别表示需求量和价格，如果某时刻该商品需求弹性的绝对值为2，请计算1.此商品的价格；2.此时总收益
R=Qp关于价格的弹性，并说明经济意义。
2011《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷
一.填空题（满分15分，每小题3分）
???1?x???x?x?1?x+1?
???+?2x+6??=1. 极限lim????________； x→+∞ln(9x)?2x?1???
????
2. 函数f(x)=3. 反常积分
∫π(t?xsint)dt的最小值点x=__________；
?
π2
∫
+∞
dxxx?1
x+y
2
=___________；
4. 设二元函数z=xe
+ln(1+y)?1，则dz(0,1)=___________；
5. 设E为闭区间0,4π上使被积函数有定义的所有点的集合，则
[]∫cosx(E
sinx+5sin2xdx=____________。
) 44
二.选择题（满分15分，每小题3分）
1. 设函数f(x)对任意x都满足f(x+1)=af(x)，且f'(0)=b，其中a,b均为非零常数，则f(x)在x=1处（ ）
（A）不可导（B）可导，且f'(1)=a（C）可导，且f'(1)=b（D）可导，且f'(1)=ab 2. lim
x→a
f(x)?f(a)1
=，则f(x)在x=a处（ ） 2
sin(x?a)6
（B）取得极小值，导数不存在； （A）导数存在，且f'(a)≠0；
（C）取得极小值，且f'(a)≠0；（D）取得极小值，且f'(a)=0 3. 曲线y=x+
x2?x+1（ ）
（A）没有渐近线； （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；
（C）有一条铅直渐近线； （D）有两条水平渐近线 4. 考虑二元函数f(x,y)在点(x0y0)处的下面四条性质
①连续；②fx(x0,y0),fy(x0,y0)存在；③fx(x0,y0),fy(x0,y0)连续；④可微 若用“P?Q”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）
（A）②?③?①；（B）③?④?①；（C）②?④?①；（D）③?②?①
5. 设F(x,y)具有2阶连续偏导数，F(x0y0)=0,Fx(x0y0)=0,Fy(x0y0)>0，若
'
'
y=y(x)是由方程F(x,y)=0所确定的点(x0y0)附近的隐函数，则x0是y=y(x)的极小
值点的一个充分条件为（ ）
''''（A）Fxx(x0,y0)>0；（B）Fxx(x0,y0)<0；（C）Fyy(x0,y0)>0；（D）Fyy(x0,y0)<0
''''
2
xtdt1
三. （本题满分6分）讨论a,b,c为何值时，下式成立lim=c。
b2x→0sinx?ax∫1+t
四. （本题满分8分）设函数?(x)=
∫
sinx
0
fux2du，其中f(x)是连续函数，且f(0)=2；
()（2）讨论?'(x)的连续性。 （1）求?'(x)；
五. （本题满分8分）若f(x)连续，且f(x)=
x
π2
(1+cosx)+∫2πf(x)sinxdx，求f(x)。
?2
六. （本题满分8分）设函数f(x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且
45
?1??1?
证明：（1）存在ξ∈?,1?，满足f(ξ)=ξ；（2）存在η∈(0,ξ)，f??=1,f(0)=f(1)=0，
?2??2?
满足f'(η)=f(η)?η+1。
（1）计算积分七. （本题满分8分）设函数f(x)=xx?a，
2
∫
1
0
f(x)dx；（2）当0≤a≤1
时，曲线y=f(x),y=0,x=1所围成的图形绕y轴旋转一轴而成的旋转体的体积V(a)，并求出V(a)的最小值。
八. （本题满分8分）求函数z=x+y在区域D:x2+y2?22x?22y≤5上的最大值与最小值。
九. （本题满分8分）某厂生产一种产品同时在两个市场销售，售价分别为p1,p2，销售量分别为q1,q2，需求函数分别为q1=24?0.2p1,q2=10?0.05p2，总成本函数为
2
2
C=35+40(q1+q2)，求工厂如何确定两市场的售价，能使其获得的总利润最大？总利润
为多少？并在总利润最大时分别计算两个市场的需求价格弹性Ep1,Ep2，并说明其经济意义。 十. （本题满分8分）设z=sinxf(u,x,2x+y),u=xe，其中f具有连续的二阶偏导数，
y
?z?2z
,。 计算
?x?x?y
十一. （本题满分8分）设e4(b?a)。
2
2
2
()2012《高等数学》求实杯竞赛（经管）试卷
一.填空（满分15分，每空3分）
f(x)sinxf(x)
=4,则lim[1+]1. 若f(x)连续,且lim=_ __________________;
x→0x→01?cosxx
2. 函数F(x,y)=
cos2x
∫
x y
0
sint?2F
dt，则2
1+t2?x
dxxx?4
2
=_ __________________________;
x=0,y=2
3. 反常(广义)积分
∫
+∞
2
=_ _____________________________________;
4. 微分方程y′′(x)+3y(x)=2012的通解为_ _____________________________;
46
5. 已知f(x,y)=e
x2+y4
，则fy′(0,0)=_ _________________________________; 二.选择题（满分12分，每题3分）
1. f(x)可导,F(x)=f(x)(1+sinx),则f(0)=0是F(x)在x=0处可导的_ ___;
A. 充分条件但非必要条件； B. 充分必要条件；
C. 必要条件但非充分条件； D. 既非充分条件又非必要条件 2. 设lim
f(a)?f(x)
=2012，则f(x)在x=a处_ __;
x→a(x?a)sin(x?a)
A. 取得极大值，导数不存在； B. 导数存在，且f′(a)≠0； C. 取得极大值，且f′(a)=0； D. 取得极大值，且f′(a)≠0
sinx
=0，若f′(x0)=0，则_ ___; 3. 设y=f(x)二阶可导，且满足y′′+y′?e
A. f(x)在x0的某邻域中单调增加； B. f(x)在x0的某邻域中单调减少； C. f(x)在x0处取得极小值； D.f(x)在x0处取得极大值；
?2u
4. 设u(x,y)在平面有界闭区域D上具有二阶连续偏导数，且满足>0及
?x?y
?2u?2u
+2=0，则_ ___; 2?x?y
A. u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部， B. u(x,y)的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上，
C.u(x,y)的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上，
D. u(x,y)的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上；
5. 设?(x)为区间[0,1]上的正值连续函数，区域D={(x,y)0≤x,y≤1}，a,b为任意常数，
则
a?(x)+b?(y)
dxdy=_ ___; ∫∫?+?(x)(y)D
A. a+b， B. a2b2， C. ab， D.
a+b
； 2
ex?e2?2cosx
=β，求α,β。 三. （本题满分7分）若limαx→0x
47
2