考点6 导数、定积分
y?1.（2010 ·海南高考理科·T3）曲线
xx?2在点??1,?1?处的切线方程为（ ）
（A）y?2x?1 （B）y?2x?1 （C）y??2x?3 （D）y??2x?2 【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解. 【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.
y??【规范解答】选A.因为
2k?y?(x?2)2，所以，在点??1,?1?处的切线斜率
x??1?2?2(?1?2)2，
所以，切线方程为y?1?2(x?1)，即y?2x?1，故选A.
2.（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的
y1y??x3?81x?2343函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（ ）
(A) 13万件 (B) 11万件
(C) 9万件 (D) 7万件
【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题的能力和运算求解能力.
【思路点拨】利用导数求函数的最值.
2y'??x?81,令y??0得x?9或x??9（舍去）【规范解答】选C.，当x?9时y'?0；当x?9时y'?0，
故当x?9时函数有极大值，也是最大值，故选C.
3.（2010·山东高考理科·Ｔ7）由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（ ）
231（A）12
1(B) 4
1 (C) 3
7(D) 12
【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.
【思路点拨】先求出曲线y=x,y=x的交点坐标，再利用定积分求面积.
【规范解答】选A.由题意得: 曲线y=x,y=x的交点坐标为(0,0)，(1,1)，故所求封闭图形的面积为
2323111?1-?1=?（x-x)dx=3412,故选A.
10234x4.（2010·辽宁高考理科·Ｔ10）已知点P在曲线y=e?1上，?为曲线在点P处的切线的倾斜角，则?
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的取值范围是（ ）
??3???3?(,][,)[,?)(A)[0,4) (B)42 (C)24 (D) 4
【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，直线的倾斜角与斜率. 【思路点拨】先求导数的值域，即tan?的范围，再根据正切函数的性质求?的范围. 【规范解答】选D.
5.（2010·湖南高考理科·Ｔ4）
?421dxx等于（ ）
(A)?2ln2 (B)2ln2 (C)?ln2 (D)ln2 【命题立意】考查积分的概念和基本运算.
1【思路点拨】记住x的原函数.
【规范解答】选D .
?4241dxx=(lnx+c)2 =(ln4+c)-(ln2+c)=ln2.
【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.
6.（2010·江苏高考·Ｔ8）函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴的交点的横坐标
?其中k?N为ak+1,，若a1=16，则a1+a3+a5的值是___________.
【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容.
【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由y?0，即可求得切线与x轴交点的横坐标.
?【规范解答】由y=x2(x>0)得，y?2x，
2y?a?2ak(x?ak), k所以函数y=x2(x>0)在点(ak,ak2)处的切线方程为：
当y?0时，解得
x?ak2，
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所以
ak?1?ak,a1?a3?a5?16?4?1?212.
【答案】21
7.（2010·江苏高考·Ｔ１4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是
2(梯形的周长）S?梯形的面积,则S的最小值是____ ____. 梯形，记
【命题立意】 本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想.
【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为x，然后用x分别表示梯形的周长和面积，从而将S用x表示出来，利用函数的观点解决.
【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x，
(3?x)24(3?x)2S???(0?x?1)21?x133?(x?1)??(1?x)22则：
方法一：利用导数的方法求最小值.
4(2x?6)?(1?x2)?(3?x)2?(?2x)4(3?x)2S(x)??S?(x)??2(1?x2)2331?x，
S?(x)?0,0?x?1,x?13，
11x?(0,]x?[,1)3时，S?(x)?0,递减；当3时，S?(x)?0,递增； 当
x?故当
13233时，S取最小值是3.
方法二：利用函数的方法求最小值
4t241S??2??1113?t?6t?83?8?6?13?x?t,t?(2,3),?(,)t2tt32，则：令 131323?,x?3时，S取最小值是3. 故当t8323【答案】3
【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的综合解答题中考查.高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：换元法、有界性法、数形结合法、导
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数法和基本不等式法.
8.（2010·陕西高考理科·Ｔ１3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为 .
【命题立意】本题考查积分、几何概型概率的简单运算，属送分题. 【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可求解. 【规范解答】阴影部分的面积为
S阴影??3x2dx?x3?1.0011所以点M取自阴影部分的概率为
P?S阴影11??S长方形3?13.
1【答案】3
9．（2010 ·海南高考理科·T13）设y=f(x)为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f(x) ≤1,可以用随机模拟方法近似计算积分由此得到N个点
?10f(x)dx,先产生两组（每组N个）区间[0,1]上的均匀随机数
x1,x2…,xN和y1,y2…,yN,
(xi,yi)（i=1,2,…,N）,再数出其中满足yi?f?xi?（i=1,2,…,N）的点数N1，那么由随机
10模拟方法可得积分?的近似值为 .
【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式. 【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求解. 【规范解答】由题意可知，
f(x)dxx,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形，而满足yi≤f(xi)的点
1(xi,yi)落在y=f(x)、y?0以及x?1、x?0围成的区域内，由几何概型的计算公式可知?0f(x)dx的近
N1似值为N. N1【答案】N
k2xf2xxx10.（2010·北京高考理科·Ｔ１8）已知函数()=ln(1+)-+， (k≥0).
(1)当k=2时，求曲线
y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
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