初中数学图形类型题型详细讲解训练
第一部分 真题精讲
【例1】(2010，丰台，一模)
已知：如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC于点E． （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）若DE=2，tanC=
1，求⊙O的直径． 2DCOBEA
【思路分析】 本题和大兴的那道圆题如出一辙，只不过这两个题的三角形一个是躺着一个是立着，让人怀疑他们是不是串通好了…近年来此类问题特别爱将中点问题放进去一并考察，考生一定要对中点以及中位线所引发的平行等关系非常敏感，尤其不要忘记圆心也是直径的中点这一性质。对于此题来说，自然连接OD，在△ABC中OD就是中位线，平行于BC。所以利用垂直传递关系可证OD⊥DE。至于第二问则重点考察直径所对圆周角是90°这一知识点。利用垂直平分关系得出△ABC是等腰三角形，从而将求AB转化为求BD，从而将圆问题转化成解直角三角形的问题就可以轻松得解。
【解析】
（1）证明：联结OD． ∵ D为AC中点， O为AB中点，
DCOBEA
∴ OD为△ABC的中位线． ∴OD∥BC． ∵ DE⊥BC， ∴∠DEC=90°.
∴∠ODE=∠DEC=90°. ∴OD⊥DE于点D. ∴ DE为⊙O的切线． （2）解：联结DB． ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∴DB⊥AC． ∴∠CDB=90°. ∵ D为AC中点， ∴AB=AC．
在Rt△DEC中，∵DE=2 ，tanC=由勾股定理得：DC=25.
1DE， ∴EC=?4. （三角函数的意义要记牢） 2tanC在Rt△DCB 中， BD=DC?tanC?5．由勾股定理得： BC=5.
∴AB=BC=5.
∴⊙O的直径为5.
【例2】（2010，海淀，一模）
已知：如图，?O为?ABC的外接圆，BC为?O的直径，作射线BF，使得BA平分?CBF，过点A作AD?BF于点D.
（1）求证：DA为?O的切线； （2）若BD?1，tan?BAD?1，求?O的半径. 2AFDBOC
【思路分析】本题是一道典型的用角来证切线的题目。题目中除垂直关系给定以外，就只给了一条BA平分∠CBF。看到这种条件，就需要大家意识到应该通过角度来证平行。用角度来证平行无外乎也就内错角同位角相等，同旁内角互补这么几种。本题中，连OA之后发现∠ABD=∠ABC，而OAB构成一个等腰三角形从而∠ABO=∠BAO，自然想到传递这几个角之间的关系，从而得证。第二问依然是要用角的传递，将已知角∠BAD通过等量关系放在△ABC中，从而达到计算直径或半径的目的。
AFDB4312OC【解析】证明：连接AO.
∵ AO?BO， ∴ ?2??3. ∵ BA平分?CBF， ∴ ?1??2. ∴ ?3??1 .
∴ DB∥AO. （得分点，一定不能忘记用内错角相等来证平行） ∵ AD?DB,
∴ ?BDA?90?.∴ ?DAO?90?. ∵ AO是⊙O半径，
∴ DA为⊙O的切线. （2）∵ AD?DB,BD?1，tan?BAD?∴ AD?2.
由勾股定理，得AB?5. ∴ sin?4?5.（通过三角函数的转换来扩大已知条件） 51， 2∵ BC是⊙O直径，
∴ ?BAC?90?.∴ ?C??2?90?. 又∵ ?4??1?90?, ?2??1,
∴ ?4??C. （这一步也可以用三角形相似直接推出BD/AB=AB/AC=sin∠BAD） 在Rt△ABC中，BC?∴ ?O的半径为
5. 2ABAB==5. sinCsin?4
【例3】（2010，昌平，一模）
已知：如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B
在⊙O上，且OA?AB?AD. （1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交
于点F，且BE?8，tan?BFA?求⊙O的半径长.
5， 2BEFDAOC
【思路分析】 此题条件中有OA=AB=OD，聪明的同
学瞬间就能看出来BA其实就是三角形OBD中斜边OD上的中线。那么根据直角三角形斜边中线等于斜边一半这一定理的逆定理，马上可以反推出∠OBD=90°，于是切线问题迎刃而解。事实上如果看不出来，那么连接OB以后像例2那样用角度传递也是可以做的。本题第二问则稍有难度，额外考察了有关圆周角的若干性质。利用圆周角相等去证明三角形
相似，从而将未知条件用比例关系与已知条件联系起来。近年来中考范围压缩，圆幂定理等纲外内容已经基本不做要求，所以更多的都是利用相似三角形中借助比例来计算，希望大家认真掌握。
【解析】
B（1）证明：连接OB.
E321∵OA?AB,OA?OB，
F∴OA?AB?OB. 4CADO∴?ABO是等边三角形.
∴?BAO??1?60?. ∵AB?AD，
∴?D??2?30?.
∴?1??2?90?.
∴DB?BO . （不用斜边中线逆定理的话就这样解，麻烦一点而已） 又∵点B在⊙O上， ∴DB是⊙O的切线 .
（2）解：∵CA是⊙O的直径， ∴?ABC?90?.
在Rt△ABF中，tan?BFA? ∴设AB?5x,AB5? , BF2则BF?2x，
∴AF?AB2?BF2?3x . ∴
BF2? . （设元的思想很重要） AF3∵?C??E,?3??4, ∴?BFE ∽ ?AFC.
BEBF2?? . ACAF3∵BE?8, ∴AC?12 .
∴AO?6.???????????????5分 ∴
【例4】（2010，密云，一模）
如图，等腰三角形ABC中，AC?BC?6，AB?8．以BC为直径作?O交AB于点D，交
AC于点G，DF?AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． （1）求证：直线EF是?O的切线； （2）求sin?E的值．
AFDGEBOC
【思路分析】本题和前面略有不同的地方就是通过线段的具体长度来计算和证明。欲证EF是切线，则需证OD垂直于EF，但是本题中并未给OD和其他线角之间的关系，所以就需要多做一条辅助线连接CD，利用直径的圆周角是90°，并且△ABC是以AC,CB为腰的等腰三角形，从而得出D是中点。成功转化为前面的中点问题，继而求解。第二问利用第一问的结果，转移已知角度，借助勾股定理，在相似的RT三角形当中构造代数关系，通过解方程的形式求解，也考察了考生对于解三角形的功夫。
【解析】
AFDGEBOC
（1）证明：如图，连结CD，则?BDC?90?．
∴CD?AB． ∵ AC?BC，∴AD?BD． ∴D是AB的中点． ∵O是BC的中点， ∴DO∥AC． ∵EF?AC于F． ∴EF?DO．
∴EF是?O的切线．
( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴?BGC?90???CFE．（直径的圆周角都是90°） ∴BG∥EF．
FCCG∴sin?E?． ?ECBC设CG?x，则AG?6?x．
在Rt△BGA中，BG2?BC2?CG2． 在Rt△BGC中，BG2?AB2?AG2．（这一步至关重要，利用两相邻RT△的临边构建等式，事实上也可以直接用直角三角形斜边高分比例的方法）
222∴62?x2?82??6?x?．解得x?．即CG?．
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