【思路分析】这是一道去年北京中考的原题，有些同学可能已经做过了。主要考点还是切线
判定，等腰三角形性质以及解直角三角形，也不会很难。放这里的原因是让大家感受一下中考题也无非就是如此出法，和我们前面看到的那些题是一个意思。
【思考4】2009，西城，二模
如图，等腰△ABC中，AC=BC，⊙O为△ABC的外接圆，
?上一点， CE⊥AD于E. D为BC 求证：AE= BD +DE．
【思路分析】 前面的题目大多是有关切线问题，但是未必所有的圆问题都和切线有关，去
年西城区这道模拟题就是无切线问题的代表。此题的关键在于如何在图形中找到和BD相等的量来达到转化的目的。如果图形中所有线段现成的没有，那么就需要自己去截一段，然后去找相似或者全等三角形中的线段关系。
【思考5】.2009，东城，二模
如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，
ED是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，
CCF⊥AB于F，且CE＝CF．
（1） 求证：DE是⊙O的切线；
（2） 若AB＝6，BD＝3，求AE和BC的长． AOFBD
【思路分析】又是一道非常典型的用角证平行的题目。题目中虽未给出AC评分角EAD这
样的条件，但是通过给定CE=CF，加上有一个公共边，那么很容易发现△EAC和△CAF是全等的。于是问题迎刃而解。第二问中依然要注意找到已知线段的等量线段，并且利用和，差等关系去转化。
第三部分 思考题解析
【思考1解析】
1）证明: 如图, 连接AO并延长交⊙O于点E, 连接BE, 则∠ABE=90°.
∴ ∠EAB+∠E=90°. E ∵ ∠E =∠C, ∠C=∠BAD， C∴ ∠EAB+∠BAD =90°.
O∴ AD是⊙O的切线.
（2）解：由（1）可知∠ABE=90°.
∵ AE=2AO=6, AB=4,
ABD∴ BE?AE2?AB2?25. ∵ ∠E=∠C=∠BAD, BD⊥AB,
∴ cos?BAD?cos?E.
ABBE∴ ?.
ADAE即425?.AD6
∴ AD?125. 5
【思考2解析】 解：（1）直线BD与⊙O相切． 证明：如图3，连结OB．-
∵ ∠OCB=∠CBD +∠D ，∠1=∠D， ∴ ∠2=∠CBD． ∵ AB∥OC ， ∴ ∠2=∠A ． ∴ ∠A=∠CBD． ∵ OB=OC，
∴ ?BOC?2?3?180?， ∵ ?BOC?2?A， ∴ ?A??3?90?． ∴ ?CBD??3?90?． ∴ ∠OBD=90°．
∴ 直线BD与⊙O相切．
（2）解：∵ ∠D=∠ACB ，tan?ACB?∴ tanD?4． 34， 34， 3BAO
321CD在Rt△OBD中，∠OBD=90°，OB = 4，tanD?∴ sinD?4OB?5． ，OD?5sinD∴ CD?OD?OC?1．
【思考3解析】
1）证明：连结OM，则OM?OB． ∴?1??2．
∵BM平分?ABC． ∴?1??3． ∴?2??3． ∴OM∥BC．
∴?AMO??AEB．
C M 2 E G 3 1 A F O B
在△ABC中，AB?AC，AE是角平分线， ∴AE⊥BC． ∴?AEB?90°． ∴?AMO?90°． ∴OM⊥AE． ∴AE与⊙O相切．
（2）解：在△ABC中，AB?AC，AE是角平分线，
1BC，?ABC??C． 21cosC?， ∵BC?4，31cos?ABC?． ∴BE?1，3在△ABE中，?AEB?90°，
BE?6． ∴AB?cos?ABC设⊙O的半径为r，则AO?6?r． ∵OM∥BC，
∴△AOM∽△ABE． OMAO?∴． BEABr6?r∴?． 263解得r?．
23∴⊙O的半径为．
2∴BE?
【思考4解析】
证明：如图3，在AE上截取AF=BD，连结CF、CD． A在△ACF和△BCD中，
?AC?BC, ?? ?CAF??CBD, ? AF?BD, ?CFODEB ∴ △ACF≌△BCD． ∴ CF=CD.
∵ CE⊥AD于E， ∴ EF=DE.
∴ AE?AF?EF?BD?DE.
【思考5解析】 证明：（1）连接OC,
?AE?CD,CF?AB,又?CE?CF,??1??2.?OA?OC,??2??3. ??1??3.?OC//AE.?OC?CD.?DE是?O的切线.(2)解：?AB?6,?OB?OC?1AB?3.2在Rt?OCD中，OC?3,OD?OB?BD?6,在Rt?ADE中， AD?AB?BD?9,?AE?19AD?22在?OBC中，??COD=600,OB?OC
??D?300.?COD?600.?BC?OB?3.