普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解
2015年安徽文
一、选择题（共10小题；共50分）
1. 设i是虚数单位，则复数 1?i 1+2i = ??
A. 3+3i A. 1,2,5,6
B. ?1+3i B. 1
C. 3+i C. 2
D. ?1+i D. 1,2,3,4
2. 设全集??= 1,2,3,4,5,6 ，??= 1,2 ，??= 2,3,4 ，则??∩ ????? = ?? 3. 设??:??<3，??:?1
A. 充分必要条件 C. 必要不充分条件
4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是 ??
A. ??=cos??
B. ??=sin??
C. ??=ln??
D. ??=??2+1
?????≥0,
5. 已知??，??满足约束条件 ??+???4≤0,则??=?2??+??的最大值是 ??
??≥1,
A. ?1
??24
B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
B. ?2
??24
C. ?5
??22
D. 1
??22
6. 下列双曲线中，渐近线方程为??=±2??的是 ??
A. ??2?
=1
B.
???2=1
C. ??2?
=1
D.
???2=1
7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的??为 ??
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
8. 直线3??+4??=??与圆??2+??2?2???2??+1=0相切，则??的值是 ??
A. ?2或12
B. 2或?12
C. ?2或?12
D. 2或12
9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 ??
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A. 1+ 3 B. 2+ 3 C. 1+2 2 D. 2 2 10. 函数?? ?? =????3+????2+????+??的图象如图所示，则下列结论成立的是 ??
A. ??>0，??<0，??>0，??>0 C. ??<0，??<0，??>0，??>0
B. ??>0，??<0，??<0，??>0 D. ??>0，??>0，??>0，??<0
二、填空题（共5小题；共25分）
11. lg2+2lg2? 2
5
1?1
= ．
12. 在△??????中，????= 6，∠??=75°，∠??=45°，则????= ．
13. 已知数列 ???? 中，??1=1，????=?????1+（??≥2），则数列 ???? 的前9项和等于 ．
21
14. 在平面直角坐标系??????中，若直线??=2??与函数??= ????? ?1的图象只有一个交点，则??的值
为 ．
满足???? ，则下列结论中正确 =2?? =2??15. △??????是边长为2的等边三角形，已知向量?? ，?? ，???? +??
的是 ．（写出所有正确结论的序号）
为单位向量；③?? ；④?? ∥ ⊥???? ；⑤ 4?? ． ①?? 为单位向量；②?? ⊥?????? +??
三、解答题（共6小题；共78分）
16. 已知函数?? ?? = sin??+cos?? 2+cos2??．
（1）求?? ?? 最小正周期；
（2）求?? ?? 在区间 0,2 上的最大值和最小值．
17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该
部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为： 40,50 ， 50,60 ，?， 80,90 ， 90,100 ．
π
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（1）求频率分布直方图中??的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在 40,60 的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在 40,50 的概率． 18. 已知数列 ???? 是递增的等比数列，且??1+??4=9，??2??3=8．
（1）求数列 ???? 的通项公式；
（2）设????为数列 ???? 的前??项和，????=
????+1????????+1
，求数列 ???? 的前??项和????．
19. 如图，三棱锥?????????中，????⊥平面??????，????=1，????=1，????=2，∠??????=60°，
（1）求三棱锥?????????的体积；
（2）证明：在线段????上存在点??，使得????⊥????，并求????的值．
????
20. 设椭圆??的方程为
??2??2+
??2??2=1（??>??>0），点??为坐标原点，点??的坐标为 ??,0 ，点??的坐标
5为 0,?? ，点??在线段????上，满足 ???? =2 ???? ，直线????的斜率为10． （1）求??的离心率??；
（2）设点??的坐标为 0,??? ，??为线段????的中点，证明：????⊥????． 21. 已知函数?? ?? = ??+?? 2（??>0，??>0）．
（1）求?? ?? 的定义域，并讨论?? ?? 的单调性； （2）若??=400，求?? ?? 在 0,+∞ 内的极值．
??
????
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答案
第一部分 1. C 6. A
2. B 7. B
3. C 8. D
4. A 9. B
5. A
【解析】提示：还原该几何体，如图所示，平面??????⊥平面??????，点??
在底面??????的射影是????的中点．
10. A
【解析】由函数图象知，函数先增再减，然后再增，所以??? ?? =3????2+2????+??=0有两个不相等的正实根??1,??2，且??>0，由??1+??2=?3??>0可得??<0，由??1??2=3??>0可得??>0，再由?? 0 >0可得??>0． 第二部分 11. ?1 12. 2 13. 27 14. ?2 【解析】提示：函数?? ?? =??= ????? ?1的最小值为?? ?? =?1． 15. ①④⑤
1
=???? 的夹角为120°，③不 ，?? ， ??【解析】显然，?? =2???? =1，①正确； 与?? ?? =2，②不正确；??
1
2??
??
????? =0，⑤正确． 正确；④显然正确； 4?? +?? 第三部分 16. （1）因为
?? ?? =sin2??+cos2??+2sin??cos??+cos2??
=1+sin2??+cos2?? π
= 2sin 2??+ +1,
4所以函数?? ?? 的最小正周期为??=
2π2
=π．
π
（2）由（1）的计算结果知，?? ?? = 2sin 2??+4 +1． 当??∈ 0,2 时，2??+4∈ 4,由正弦函数??=sin??在 4,
π5π
4
π
π
π5π
4
，
上的图象知，
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当2??+4=2，即??=8时，?? ?? 取得最大值 2+1； 当2??+4=
π
5π
πππ
，即??=2时，?? ?? 取得最小值0． 4
π
π
综上，?? ?? 在 0,2 上的最大值为 2+1，最小值为0．
17. （1）因为 0.004+??+0.018+0.022×2+0.028 ×10=1，所以??=0.006．
（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为 0.022+0.018 ×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．
（3）受访职工中评分在 50,60 的有：50×0.006×10=3（人），记为??1，??2，??3； 受访职工中评分在 40,50 的有：50×0.004×10=2（人），记为??1，??2．
从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是 ??1,??2 ， ??1,??3 ， ??1,??1 ， ??1,??2 ， ??2,??3 ， ??2,??1 ， ??2,??2 ， ??3,??1 ， ??3,??2 ， ??1,??2 ．
又因为所抽取2人的评分都在 40,50 的结果有1种，即 ??1,??2 ，故所求的概率为．
101
18. （1）由题设知??1???4=??2???3=8， 又??1+??4=9，可得
??=1,??=8, 1或 1 舍去 ??4=8,??4=1
由??4=??1??3得公比??=2，故????=??1?????1=2???1． （2）????=又????=
????+1????????+1
??1 1????? 1???????+1?????????????+1
=2???1， =
1????
=?????
1????+1
，所以
=??1+??2+?+????111111= ? + ? +?+ ?
??1??2??2??3????????+111 =?
??1????+1
1
=1???+1.
2?11
1
19. （1）在△??????中，????=1，????=2，∠??????=60°???△??????=2??????????sin∠??????=2×1×2×sin60°=
3 2
又∵????⊥面??????，
∴????是三棱锥?????????的高，
11 3 3∴??三棱锥?????????=???????△??????=×1×= 3326 （2）过点??作????垂直????于点??，过??作????∥????交????于??，则????⊥面??????
?????面???????????⊥????????∩????=???????⊥面?????? ?????面???????????⊥????
此时??即为所找点，在△??????中，易知????=2?
1
????????
????
3
2
=?????
2
=4?????=3 3????1
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20. （1）由题设条件知，点??的坐标为 ??,?? ，
3
3
21
又??????=
?? 5，从而102??
=
5． 10
??
2 55??
进而得??= 5??，??= ??2???2=2??，故??=??=
??
．
??5??
6
= , （2）由??是????的中点知，点??的坐标为 2,?2 ，可得????6 = ???,?? ， 又 ????
? =?1??2+5??2=1 5??2???2 ． 从而有 ????????
6
6
6
．
由（1）的计算结果可知??2=5??2， ? =0，故????⊥????． 所以????????
21. （1）由题意知??≠???，所求的定义域为 ?∞,??? ∪ ???,+∞ ． ?? ?? = ??+?? 2=??2+2????+??2， ??? ?? =
?? ??2+2????+??2 ????? 2??+2??
??2+2????+??2 2????
????
=
?? ????? ??+??
， ??+?? 4所以当????时，??? ?? <0； 当???0．
因此?? ?? 的单调递减区间为 ?∞,??? ， ??,+∞ ；?? ?? 的单调递增区间为 ???,?? ． （2）由（1）的解答可知??? ?? =0，?? ?? 在 0,?? 上单调递增，在 ??,+∞ 上单调递减． 因此，??=??是?? ?? 的极大值点，所以?? ?? 在 0,+∞ 内的极大值为?? ?? =
????
2?? 2
=
??4??
=
4004
=100．
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