28．（本题满分9分）
已知菱形ABCD的边长为1．∠ADC=60°，等边△AEF两边分别交边DC、CB于点E、F。 （1）特殊发现：如图1，若点E、F分别是边DC、CB的中点．求证：菱形ABCD对角线AC、BD交点O即为等边△AEF的外心；
（2）若点E、F始终分别在边DC、CB上移动．记等边△AEF的外心为点P． ①猜想验证：如图2．猜想△AEF的外心P落在哪一直线上，并加以证明；
②拓展运用：如图3，当△AEF面积最小时，过点P任作一直线分别交边DA于点M，交边DC的延长线于点N，试判断说明理由。
www.xkb1.com 11是否为定值．若是．请求出该定值；若不是．请?DMDN
2014年中考数学模拟试卷 (1)
参考答案
一.选择题 1． D 2． C 3． B 4. C 5． A 6． D 7． D 8． C 9． A 10．C
二.填空题 11． x＞?1 12． 32° 222213．如果a、b、c是一个三角形的三条边，并且a?b?c，那么这个三角形是直角三角形．
14. 128
15.－24或－48
16． 3.75【解析】本题考查三角形的相似，直角三角形和正方形的面积.由题意易知：△ABC∽△ADE∽△AGF,相似比为2：5：10，所以面积比为4：25：100. △AGF的面积为（5×10）÷2=25，△ADE的面积为6.25，△ABC的面积为1，所以四边形BCED的面积为6.25-1=5.25，图中阴影部分面积3×3-5.25=3.75
17. 解：连接NE， x，OC=r+x， 设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点， ∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1， ∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°， ∵∠BOD=90°，
∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°， ∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB，
[来源学§科§网Z§X§X§K]∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA，∴即
=
，解得：r﹣x=9，
2
2
2
2
2
2
2
=，
由垂径定理得：OE=OF，OE=EN﹣ON=r﹣x=9， 即OE=OF=3，∴EF=2OE=6，
18. y=﹣x+4x﹣3 三.解答题
2
m2?2m?1(m?1)(m?1)?(m?1)19. 解：原式= ?m?1m2?1(m?1)2m?1m?1m?1m?1 == =2 ?2?2(m?1)(m?1)m?1?m?1m?1m?mm?m =
m?11 =．
m(m?1)m13?3． 3 ∴当m=3时，原式=
20.证明 ∵在△ABC中，AD是中线，∴BD=CD，∵CF⊥AD，BE⊥AD，∴∠CFD＝∠BED＝90° ，在△BED与△CFD中，∵∠BED＝∠CFD，∠BDE＝∠CDF，BD＝CD，∴△BED≌△CFD，∴BE=CF．
21. 解：（1）200；新课标第一网
（2）200?120?50?30（人）．画图正确．
人数
120
120 100
50 50 30
A级 B级 C级 学习态度层级
（3）C所占圆心角度数?360°?(1?25%?60%)?54°．
（4）80000×（25%+60%）=68000
∴估计我市初中生中大约有68000名学生学习态度达标．
22.解：设CE＝xm，则由题意可知BE＝xm，AE＝(x＋100)m． 在Rt△AEC中，tan∠CAE＝
∴
xCE，即tan30°＝ AEx?100x3，3x＝3(x＋100) ?x?1003解得x＝50＋503＝136.6
∴CD＝CE＋ED＝(136.6＋1.5)＝138.1≈138(m)
答：该建筑物的高度约为138m．
23. 解：（1）因为购买大型客车x辆，所以购买中型客车(20?x)辆． y?62x?40?20?x??22x?800．
（2）依题意得20?x< x. 解得x >10．
∵ y?22x?800，y随着x的增大而增大，x为整数，
∴ 当x=11时，购车费用最省，为22×11+800=1 042（万元）． 此时需购买大型客车11辆，中型客车9辆．
答：购买大型客车11辆，中型客车9辆时，购车费用最省，为1 042万元．
24. 解：（1）10，50；
（2）解法一（树状图）：
从上图可以看出，共有12种等可能结果，其中大于或等于30元共有8种可能结果， 因此P（不低于30元）= 解法二（列表法）：
；
（以下过程同“解法一”）
25. 解：（1）证明：连接OB、OP
∵
DBDC2??且∠D=∠D DPDO3∴ △BDC∽△PDO ∴ ∠DBC=∠DPO ∴ BC∥OP ∴ ∠BCO=∠POA ∠CBO=∠BOP
∵ OB=OC ∴ ∠OCB=∠CBO ∴ ∠BOP=∠POA
又∵ OB=OA OP=OP ∴ △BOP≌△AOP ∴ ∠PBO=∠PAO 又∵ PA⊥AC ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线 （2）由（1）知∠BCO=∠POA 设PB?a，则BD?2a
又∵ PA?PB?a ∴ AD?22a 又∵ BC∥OP ∴
DC1?2 ∴DC?CA??22a?2a CO2 ∴OA?326a ∴OP?a ∴ cos∠BCA=cos∠POA= .
32226.解答：解：（1）连接AD，设点A的坐标为（a，0），
由图2知，DO+OA=6cm， DO=6﹣AO，
由图2知S△AOD=4， ∴DO?AO=4，
∴a﹣6a+8=0， 解得a=2或a=4， 由图2知，DO＞3， ∴AO＜3， ∴a=2，
∴A的坐标为（2，0）， D点坐标为（0，4），
在图1中，延长CB交x轴于M， 由图2，知AB=5cm，CB=1cm， ∴MB=3， ∴AM=
=4．
2
∴OM=6，
∴B点坐标为（6，3）；
（2）显然点P一定在AB上．设点P（x，y），连PC．PO，则
S四边形DPBC=S△DPC+S△PBC=S五边形OABCD=（S矩形OMCD﹣S△ABM）=9， ∴
6×（4﹣y）+×1×（6﹣x）=9，
即x+6y=12，
同理，由S四边形DPAO=9可得2x+y=9，
由A（2，0），B（6，3）求得直线AB的函数关系式为y=
，
由[或或]
解得x=∴P（
，y=，
），
．
设直线PD的函数关系式为y=kx+4， 则
=
k+4， ，
x+4．
∴k=﹣
∴直线PD的函数关系式为y=﹣