27. 解：（1）当a??1,b?1时，抛物线m的解析式为：y??x2?1.
令x?0，得：y?1. ∴C（0,1）.
令y?0，得：x??1. ∴A（-1,0），B（1,0） ∵C与C1关于点B中心对称，∴C1（2, -1）.
∴抛物线n的解析式为：y??x?2??1?x2?4x?3 （2）四边形AC1A1C是平行四边形. 理由：∵C与C1、A与A1都关于点B中心对称， ∴AB?BA1,BC?BC1, ∴四边形AC1A1C是平行四边形.
（3）令x?0，得：y?b. ∴C（0,b）.
令y?0，得：ax2?b?0, ∴x???babab, a2 ∴A(??,0),B(?,0), ∴AB?2?,BC?OC2?OB2?b2? 要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB?BC, ∴2?bbb?b??b2?， ∴4?????b2?， aaa?a?bab. a ∴ab??3. ∴a,b应满足关系式ab??3.
28．解：（1）证明：如图I，分别连接OE、0F ∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，BD平分∠ADC．AD=DC=BC ∴∠COD=∠COB=∠AOD=90°．
ECFB
OD第25题 图1A
∠ADO=
11∠ADC=×60°=30° 22 又∵E、F分别为DC、CB中点 ∴OE=
111CD，OF=BC，AO=AD 222 ∴0E=OF=OA ∴点O即为△AEF的外心。
（2）
①猜想：外心P一定落在直线DB上。
证明：如图2，分别连接PE、PA，过点P分别作PI⊥CD于I，P J⊥AD于J ∴∠PIE=∠PJD=90°，∵∠ADC=60° C∴∠IPJ=360°-∠PIE-∠PJD-∠JDI=120°
∵点P是等边△AEF的外心，∴∠EPA=120°，PE=PA，
I∴∠IPJ=∠EPA，∴∠IPE=∠JPA ∴△PIE≌△PJA， ∴PI=PJ
∴点P在∠ADC的平分线上，即点P落在直线DB上。 E ②
FBP11为定值2. ?DMDND第25题 图2JA当AE⊥DC时．△AEF面积最小， 此时点E、F分别为DC、CB中点． 连接BD、AC交于点P，由（1） 可得点P即为△AEF的外心
解法一：如图3．设MN交BC于点G 设DM=x，DN=y(x≠0．y≠O)，则 CN=y?1 ∵BC∥DA ∴△GBP∽△MDP．∴BG=DM=x． ∴CG?1?x
∵BC∥DA，∴△NCG∽△NDM ∴
ENCGFBPD第25题 图3MAy?11?xCNCG，∴ ??yxDNDM∴x?y?2xy
∴
1111??2，即??2 xyDMDN其它解法略。