答案：
1、（Ⅰ）由已知f/?x??3ax2?2bx?c
c?d?0…………………………（2分） ?c?d?0 ∴
??f?0??0∴?/??f?0??02?f/??1?1///f?1?又且 ∴ （舍去?1f?1?0f?1??3??.） ????/31?2f?1?∴??f??1???a?b?2?/f????1??3a?2b??3/?a?1???b?3?f?x??x3?3x2……（4分）
（Ⅱ）令f?x??3x?x?2??0?x?0或x??2
即f?x?的增区间为???,?2?、?0,??? ∵y?f?x?在区间?2m?1,m?1?上是增函数
2m?1?m?1??2或0?2m?1?m?1 ∴
则m??3或 （Ⅲ）令f/1?m?2.…………（8分） 2?x??3x?x?2??0f??1??2,?x?0或x??2
∵f?0??0,f?1??4
∴y?f?x?在??1,1?上的最大值为4，最小值为0……………………（10分）
∴x1、x2???1,1?时，f?x1??f?x2??4?0?4.……………………（12分）
2、（Ⅰ）∵f(x)在x?R上存在最大值和最小值，
b?0（否则f(x)值域为R）∴，
2y?aa?sinx?1 y?f(x)??sinx?ycosx?2y?a?sin(x??)?∴
22?cosx1?y
?3y2?4ay?a2?1?0，
4a?2680， 32又??4a?12?0，由题意有ymin?ymax?
a?2010； ………………… 4分 ∴
x?R，∴f(0)?0?a?0， （Ⅱ）若f(x)为奇函数，∵
∴f(x)?sinx2cosx?1?bx，f?(x)??b， 22?cosx(2?cos)2322?，?）上递减，则f?(?)?0，
33
（1）若?b?R，使f(x)在（0，?）上递增，在（
b?0，这时f?(x)?∴
21?2cosxx?(0,?)时，f?(x)?0，f(x)递增。 ，当23(2?cosx) 当x?(?,?)时f?(x)?0，f(x)递减。 …………………9分
23?bcos2x?2(1?2b)cosx?1?4b （2）f?(x)? 2(2?cosx)△＝4(1?2b)2?b(1?4b)?4(1?3b) 若△?0，即b?
??1，则f?(x)?0对?x?0恒成立，这时f(x)在?0,???上递3减，∴f(x)?f(0)?0。………………… 12分
若b?0，则当x?0时，?bx?[0,??)，
?sinx33????,?，
2?cosx?33?f(x)?sinx?bx不可能恒小于等于0。
2?cosx?sinx33????,若b?0，则f(x)??不合题意。
2?cosx?33?若0?b?11?3b?0， ，则f?(0)?33f?(?)??b?1?0，∴?x0?(0,?)，使f?(x0)?0，
x?(0,x0)时，f?(x)?0，这时f(x)递增，f(x)?f(0)?0，不合题意。
综上b??,???。 ………………… 16分
3、解：（1）?f?(x)?3x?3?0?x??1…………………………………………2分 列表得f(x)min??2…………………………………………5分
（2）?在区间[1,2]上f(x)的图象恒在g(x)图象的上方
23 ?x?3ax?lnx在[1,2]上恒成立得3a?x??1?3??2lnx在[1,2]上恒成立…………7分 x
1?lnx2x3?lnx?1lnx? 设h(x)?x?则h?(x)?2x? 22xxx ?2x3?1?0,lnx?0?h?(x)?0?h(x)min?h(1)?1 ………………………9分
1 ?a? …………………………………………10分
3 （3）因g(x)?|fx)|?|x3?3ax|在[?1,1]上是偶函数,故只要求在[0,1]上的最大值 ①当a?0时，f'(x)?0,f(x)在[0,1]上单调递增且f(0)?0,?g(x)?f(x) F(a)?f(1)?1?3a.
2 ②当a?0时，f'(x)?3x2?3a?3(x?a)(x?a),（ⅰ）当a?1,即a?1
,此时F(a)??f(1)?3a?1 g(x)?|f(x)|??f(x),?f(x)在[0,1]上单调递增 （ⅱ）当0?递增；
a?1,即0?a?1时，f(x)在[0,a]上单调递减, 在[a,1]单调
1?a?1时， 3 g(x)?|f(x)|??f(x),?f(x)在[0,a]上单调递增,在[a,1]上单调递减,
1°当f(1)?1?3a?0,即 F(a)??f(a)?2aa； 2°当f(1)?1?3a?0,即0?a?1 31时,F(a)?f(1)?1?3a 411 （ⅱ）当?f(a)?f(1)?1?3a,即?a?时,F(a)??f(a)?2aa43 （ⅰ）当?f(a)?f(1)?1?3a,即0?a?
1?1?3a,(a?)?4? 综上 F(x)??2aa,(1?a?1)………………16分
?4??3a?1,(a?1)??4、解：（Ⅰ）易知f(x)的定义域为x????1?,???． ?2?12x(x?m?)m2x?(2m?1)x2． f?(x)?x??m??1?2x1?2x1?2x1由f?(x)?0 得：x?0 或 x??m?．
22∵m?0，∴?m?1?1????,???． 2?2?∴（1）当?11??1?m?0时，则x???,?m??时,f?(x)?0,f(x)为增函数； 22??2
1??x???m?,0?时,f?(x)?0,f(x)为减函数；
2??x??0,???时,f?(x)?0,f(x)为增函数．
（2）当m??1?1?时，则x???,0?时,f?(x)?0,f(x)为增函数； 2?2?1??x??0,?m??时,f?(x)?0,f(x)为减函数；
2??1??x???m?,???时,f?(x)?0,f(x)为增函数． 5分
2??（Ⅱ）在x???,?1e?1?上至少存在一点x0，使f(x0)?e?1成立，等价于当??22??1e?1?时，f(x)max?e?1． x???,?22??∵m??ee?11??m?． ，∴
222由（Ⅰ）知，x????1??e?1?,0?时，f(x)为增函数，x??0,?时，f(x)为减函数．
2??2??∴在x???,?1?e?1e?1??2m?e?1,即m?时，． ∴ ． f(x)?f(0)??2mmax?222??e?1?e，所以m?是所求范围． 8分 2212x?ln1?2x?x?．2构造辅助函数（Ⅲ）当m??1时，函数f(x)?2检验，上式满足m??146x2?5x?1(6x?1)(x?1)1g(x)?f(x)?x，并求导得g?(x)?x?． ???31?2x33(1?2x)3(1?2x)显然当x?(0,1)时，g?(x)?0，g(x)为减函数．
∴ 对任意0?x1?x2?1，都有g(x1)?g(x2)成立，即f(x1)?即f(x2)?f(x1)?11x1?f(x2)?x2． 331f(x2)?f(x1)1 (x2?x1)．又∵ 12分 x2?x1?0，∴ ?．3x2?x135、略(见浙江省天利38套第九张)
6、解：(1)解：设A(m,n)为函数f(x)?x3?3x2图像的一个对称点，则
f(m?x)?f(m?x)?2n对于
x?R恒成立. 即
(m?x)3?3(m?x)2?(m?x)3?3(m?x)2?2n对于x?R恒成立，
?(6m?6)x2?(2m3?6m2?2n)?0由??6m?6?0?m??1， ??32?2m?6m?2n?0?n?2故函数f(x)图像的一个对称点为(?1,2).………………(5分) （2）ａ∈Ｒ，ｂ＝２时，ｆ(x)是奇函数。
不存在常数a使 f(x)??x2?4x?2 x∈[-1，1]时恒成立。依题，此时f(x)?ax3 令g(x)??x?4x?2 x∈[-1，1]∴g(x)∈［－7，1］若a=0,f(x)＝0，不合题； 若a>0, f(x)?ax3此时为单调增函数，f(x)若存在a合题，则-a?1,与a>0矛盾。 若a<0, f(x)?ax此时为单调减函数， f(x)min3min2＝－a.
＝a若存在a合题，则a?1，与a<0矛盾。
综上可知，符合条件的a不存在。 ………………(10分)
（3）函数的图像关于直线x?m对称的充要条件是f(m?x)?f(m?x)①a?b?0时，
f(x)?0?x?R?，其图像关于x轴上任意一点成中心对称；关于平行于y轴的任意一条直
线成轴对称图形；
②a?0,b?0时，f(x)?bx2?x?R?，其图像关于y轴对称图形；
③a?0,b?0时，f(x)?ax，其图像关于原点中心对称； ④a?0,b?0时，f(x)?ax3?bx2的图像不可能是轴对称图形。
设A(m,n)为函数f(x)?ax3?bx2图像的一个对称点，则
3f(m?x)?f(m?x)?2n对于x?R恒成立. 即
a(m?x)3?b(m?x)2?a(m?x)3?b(m?x)2?2n对于x?R恒成立，
b?m???3am?b?0?3a， (3am?b)x2?(am3?bm2?n)?0由???3?23?am?bm?n?0?n?2b?27a2?3b2b故函数f(x)图像的一个对称点为(?,). ………………(16分) 23a27a