第二章 度量空间与赋范线性空间
第2章 度量空间与赋范线性空间
度量空间在泛函分析中是最基本的概念。事实上，它是n维欧几里得空间Rn的推广，它为统一处理分析学各分支的重要问题提供了一个共同的基础。它研究的范围非常广泛，包括了在工程技术、物理学、数学中遇到的许多很有用的函数空间。因而，度量空间理论已成为从事科学研究所不可缺少的知识。 2.1 度量空间的基本概念 2.1.1 距离（度量）空间的概念
在微积分中，我们研究了定义在实数空间R上的函数，在研究函数的分析性质，如连续性，可微性及可积性中，我们利用了R上现有的距离函数d，即对
x,y?R,d(x,y)?x?y。度量是上述距离的一般化：用抽象集合X代替实数集，
并在X上引入距离函数，满足距离函数所具备的几条基本性质。
【定义2.1】 设X是一个非空集合，?(?,?)：X?X??0,??是一个定义在直积X?X上的二元函数，如果满足如下性质：
（1） 非负性 x,y?X,?(x,y)?0,?(x,y?0?x?y； （2） 对称性 x,y?X,?(x,y)??(y,x)
（3） 三角不等式 x,y,z?X,?(x,y)??(x,z)??(z,y)；
则称?(x,y)是X中两个元素x与y的距离（或度量）。此时，称X按?(?,?)成为一个度量空间（或距离空间），记为(X,?)。
注：X中的非空子集A，按照X中的距离?(?,?)显然也构成一个度量空间，称为X的子空间。当不致引起混淆时，(X,?)可简记为X,并且常称X中的元素为点。
例2.1 离散的距离空间
设X是任意非空集合，对X中任意两点x,y?X,令
?(x,y)???1 x?y
0 x?y? 显然，这样定义的?(?,?)满足距离的全部条件，我们称(X,?)是离散的距离空间。这种距离是最粗的。它只能区分X中任意两个元素是否相同，不能区分
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元素间的远近程度。
此例说明，在任何非空集合上总可以定义距离，使它成为度量空间。
例2.2 n维欧几里得空间Rn表示n维向量x??x1,x2,?,xn?的全体组成的集合，也表示n个实数x1,x2,?,xn组成的数组?x1,x2,?,xn?的全体形成的集合。对
x??x1,x2,?,xn?，y??y1,y2,?,yn??Rn，定义
?(x,y)???2?x(?y) （2.1） ?ii??i?1?n12下面来证?(?,?)满足度量定义中的条件（1）~（3）。
由式（2.1）不难验证?(?,?)满足条件（1），（2）。为证满足条件（3），需利用p?2时的离散型Minkowski不等式（见1.5节）。 取z??z1,z2,?,zn??Rn，则有
???2??(x,y)???(xi?yi)?????(xi?zi)?(zi?yi)??i?1???i?1nn122?????12???????(xi?zi)2????(zi?yi)2??i?1??i?1???(x,z)??(z,y)n12n12
因此，Rn是一距离空间。(Rn,?)称为n维欧氏空间。 注：若在Rn中规定
?maxx ?1(x,y) i?yi （2.1ˊ）
1?i?n则(Rn,?1)也是距离空间（读者自己验证）
例2.3 所有数列组成的集合S，对???an?,???bn??S,定义
,)? ?(??1an?bn （2.2） ?n21?a?bi?1nn? 那么?(?,?)是S上的度量。式（2.2）通常称为Fréchet组合。
，我们来证也满足条件（3）。事实上，对?,??(?,?)显然满足度量条件（1）~（2）
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及???cn??S,由于函数?(x)?x(x?0)是单调增函数，因此由 1?xan?bn?an?cn?cn?bn
得
an?bna?c?cn?bna?cc?b?nn?nn?nn
1?an?bn1?an?cn?cn?bn1?an?cn1?cn?bn在上市不等式两边同乘
1再求和，便得 n2?(?,?)??(?,?)??(?,?)
因此(S,?)是距离空间。
例2.4 连续函数空间C?a,b?,对f,g?C?a,b?,定义
?maxft?()g t ( ) （2.3） ?(f,g)a??tb则?(f,g)是C?a,b?上的一个度量。
?(f,g显然满足度量条件（1）~（2）。对另一连续函数h?C?a,b?,由 )f(t)?g(t)?f(t)?h(t)?h(t)?g(t) ?maxf(t)?h(t)?maxh(t)?g(t)
a?t?ba?t?h =?(f,h)??(h,g),(?t??a,b?)所以
?(f,g)??(f,h)??(h,g)
例2.5 函数类Lp(E)(p?1)（参见1.6节）,对f,g?Lp(E)定义 ?(f,g)???pEf(t?)g(t)d t （2.4）
p?1p则?(f,g)是Lp(E)上的一个度量，(Lp(E),?)是度量空间。 由 ?(f,g)?0??E(ft(?)gt()dt?)
1p0根据Lebesgue积分的性质有f(t)?g(t)a?e。反之，若f(t)?g(t)a?e， 则；条件（2）显然满足；?(f,g)?0。所以，?(f,g)满足度量定义2.1中条件（1）
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对另一函数h?Lp(E)，根据1.6节Minkowski不等式有
?(f,g)?f?gp?f?hp?h?gp??(f,h)??(h,g)
即?(f,g)满足度量定义条件（3），所以?(f,g)是Lp(E)上的一个度量，
(Lp(E),?)是度量空间。
例2.6 L??a,b?是本性有界可测函数的全体，即?a,b?上除某个零测度外，在它的补集上是有界的可测函数全体。对f,g?L??a,b?,定义 ?(f,g)?inf?supmE?0E??a,b???t??a,b??E?f(t)?g(t)??varisupf(t)?g(t) （2.5）
t??a,b?? 则?(f,g)是L??a,b?上的一个度量，(L??a,b?,?)是度量空间。
由式（2.5）显然可知，?(f,g)满足度量条件（1）~（2）。现证?(f,g)满足度量条件（3），对f,g,h?L??a,b?及???0存在E1??a,b?,E2??a,b?且
mE1?mE2?0,使
t??a,b??E1supf(t)?h(t)??(f,h)??21suph(t)?g(t)??(h,g)??2t??a,b??E从而有
?(f,g)? ? ?t??a,b??E1?E2t??a,b??E1?E2t??a,b??E1?E2t??a,b??E1supf(t)?g(t)supsup?f(t)?h(t)?h(t)?g(t)?f(t)?h(t)?t??a,t??E1?E2suph(t)?g(t)
?supf(t)?h(t)?suph(t)?g(t)t??a,b??E2
(L??a,b?,?)是度量空间。
2.1.2 距离空间中点列的收敛性
非空集合X引入距离（度量）后，就可以在其上定义点列的收敛概念。
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【定义2.2】设X是一个度量空间，xn,x?X,(n?1,2,?)称点列?xn?收敛于
imxn?x或叫?0n(??)x,做点列?xn?的极限，记作lx，是指?(xn,x)n??xn?x(x??)。
度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处。
【定理2.1】 度量空间(X,?)中的收敛点列?xn?的极限是唯一的，且若?xn?收敛于x?X,则?xn?的任意子列xxk也收敛于x。
证明：首先证明定理的第一部分。设x,y?X都是?xn?的极限，则对?n?N,有
???(x,y)??(x,xn)??(xn,y)
令n??有?(xn,x)?0,?(xn,y)?0,必然有?(x,y)?0,因此x?y,这说明
?xn?最多有一个极限。
其次证明定理的第二部分。设?xn?收敛于x?X，于是???0，存在自然数
N，当n?N时，?(xn,x)??。由于nk?N，从而当k?n时，也有?(xnk,x)??,故xnk收敛于x。证毕。
下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义。 例2.7 Rn空间中点列x(0)???????x(m)1(0)(m)(m),x2,?,xn?按度量式（2.1）收敛于
(0)1(0)(0),x2,?,xn?
??x????x 证明：?对?i(1?i?n)，由于
?的充分必要条件是对每个i,(1?i?n)有xi(m)?xi(0)(m??)，即按坐标收敛。
x(m)i?x(0)i?(m)(0)2????xk?xk???(x(m),x(0)) ?k?1?n12m??时)，一定有xi(m)?xi(0)?0(m??)，因此，当?(x(m)?x(0))?0(xi(m)?xi(0)(m??)。
?由于