第二章 度量空间与赋范线性空间
有xn?X，?(xn,x0)?1，但?1(Txn,Tx0)??0，这意味着xn?x0(n??)，但nTxn?Tx0
(n??)不成立，矛盾。证毕。
下面定理是通过开集与闭集来刻画连续映射的。
【定理2.6】 设X，Y是两个度量空间，T：X?Y是一个映射，则下述命题等价：
（1）T是连续映射；
（2）对于Y中任何开集G，T?1(G)是X中的开集； （3）对于Y中任何闭集F，T?1(F)是X中的闭集。
证明：命题(1)?(2)设x0?T?1(G)，则Tx0?G。因G是Y中开集，所以存在??0，使BT(x0,?)?G，由T在点x0连续，所以对于上述??0，存在??0，当x?B(x0,?)时，有Tx，即T(B(Tx0,?))?B(Tx0,?)?G，故?(B0T?,x)B(x0?,?)T?1(G)。所以x0是T?1(G)的内点，由x0的任意性，T?1(G)是开集。
命题(2)?(1)对x0?X，及???0，取G?B(Tx0,?)，那么T?1(G)是X中开集，而x0?T?1(G)，所以存在??0，使得B(x0?,?)T?1(G)，即
T(B(x0,?))?G?B(Tx0,?),这说明T在x0点连续。由x0的任意性知，T在X的每
一点都连续。
命题(2)?(3)对于任何闭集F?Y，F的余集Fc是开集。根据映射像也原像的性质有T?1(Fc)?(T?1(F))c。
命题(3)?(2)对于任何开集G?Y，Gc是闭集，同样T?1(Gc)?(T?1(G))c。证毕。
注：关于映射的性质T?1(Ac)?(T?1(A))c留作习题。 下面介绍一个十分有用的特殊映射同胚映射。
【定义2.8】 设X，Y是两个距离空间，T是X?Y上的一一映射，T?1是若T及T?1都是连续映射，则称T是X到Y上的同胚映射；若从X到T的逆映射，
Y上存在某一同胚映射，则称X与Y是同胚的。
应用泛函分析(第二版)
例2.15 y?arctanx是R到(???,)上的同胚映射， R与(?,)是同胚的。2222??由于两个同胚的距离空间点之间一一对应，所有邻域也是一一对应的，而且
连续概念只依赖于邻域的概念，因此，在只讨论与连续性有关问题时，可以把两个距离空间看成一个。
习题2.2
1.证明闭球是闭集。
2.设X是距离空间，A?X，A0表示全体内点构成的集合，称为A的内部， 证明A0是开集。
3.设X是距离空间，A?X，证明A是闭集的充要条件是对于任意{xn}?A，若xn?x0(n??)，则x0?A。
4.证明从离散距离空间X到任意距离空间Y的映射T：X?Y是连续映射。 5.设X是一度量空间，x0?X，证明f(x)??(x,x0)是X上的连续函数。 6.设X是度量空间，F?X是一个非空闭集，对x?X，记作inf{?(x,y):y?
F}??(x,F)，证明：对任意r?0，集合{x?X:?(x,F)?r}是开集。
7.设F1?F2??，证明存在开集G1,G2，1与F2是度量空间X中的闭集，且F使F2?G2,且G1?G2??。 1?G1,F8.设X是度量空间，A?X，若x0?A?，证明对任意??0，集A?B(x0,?)是无限集。
9.设X是度量空间，A,B?X,证明： （1）若A?B，则A?B； （2）A?A； （3）A?B?A?B；
（4）A?B?A?B，并举例说明等号未必成立。 10.设X是度量空间，证明：
第二章 度量空间与赋范线性空间
（1）X中每个非空闭集必为可列个开集的交； （2）X中每个非空开集必为可列个闭集的并。
11.设X，Y是两个非空集合。T：X?Y是一个映射，A?X，证明：
T?1(Ac)?(T?1(A))c。
2.3 度量空间中的可分性、完备性与，列紧性 2.3.1 度量空间中的可分性
有理数集在实数集中的稠密性，实数集的完备性及有界数列必有收敛子列是
数学分析的理论源泉。本节将把实数空间这几个重要性质推广到一般的距离空间中。
【定义2.9】 设X是一度量空间，A与B都是X的子集，若B?A，则称A在B中稠密。
由定义2.9及2.2节有关定义、定理易证如下定理。
【定理2.7】 设X是度量空间，A，B? X，则如下说法等价： （1）A在B中稠密；
（2）对?x?B，???0，存在y?A，使?(x,y)??； （3）???0，有B??B(x,?)；
x?A（4）对?x?B，存在点列{xn}?A，使xn?x(n??)。
例2.16 有理数在实数中稠密，有理数也在无理数中稠密。
注：稠密概念在数学分析中学中是很有用的，当考察距离空间是否具有某种性质时，往往先是在它的稠密子集上考察，然后通过极限过程得出X上相应的结论。
【定义2.10】 称度量空间X是可分的，是指存在X中一可列集A，使A在X中稠密。
例2.17 欧氏空间是Rn可分的。
n 证明： 取A?{(r1,r2,???,rn):ri是有理数(1?i?n)}，则A是可列集。对x?R及??0，记x?(x1,x2,???,xn)，取有理数ri满足 |xi?ri|?则 a?A，由于 ?(x,a)??n，令a?(r1,r2,???,rn)，
?(x?r)iii?1n2??ni?1n?2??
应用泛函分析(第二版)
所以A在Rn中稠密。
例2.18 连续函数空间C[a,b]是可分的。
证明：设A为系数是有理数的多项式组成的集合，A为可数集。对任一连续函数f?C[a,b]，由Weierstrass定理对[a,b]上任一连续函数f，必存在一列多项式P ,2,???)，pn(x)在[a,b]上一致收敛于f(x)。则对???0，n(x)?C[a,b],(n?1存在多项式pn(x)且满足?(f,pn)?max{|fx(?)pnx()x|:?a[b,?]},取多项式
2??p0?A，满足?(pn,p0)?max{|pn(x)?p0(x)|:x?[a,b]}?,于是?(p0,f)??(p0,
2pn)??(pn,f)??，从A而在C[a,b]中稠密。
例2.19 Lp[a,b](p?1)是可分的度量空间。
证明：由勒贝格积分的绝对连续性可证[a,b]上的有界可测函数全体M[a,b]中稠密，例2.18中的集合A在C[a,b]中稠密，所以Lp[a,b](p?1)是可分的。
下面举一个不可分度量空间的例子。
例2.19 有界数列空间l?，在l?上定义度量
?(?,?)?sup|ai?bi|，(??{ai},??{bi}?l?)
i?1则l?在度量?下是不可分的。
证明：用反证法，若l?是可分的，则存在可列稠密集A。取l?的一个子集
B?{??{ai}:ai?0或1(i?1,2,???)}，B与区间[0,1]可以通过二进制小数建立如下
对应：ai?0.a1a2???，该对应是一一映射，因此B是不可数集。以A中的所有点
1111为中心，为半径的开球B(a,)(a?A)满足?B(a,)?l?。因此B??B(a,)。
3333a?Aa?A由于A可数，B不可数，所以至少存在B中两个不同点?,?落入某个开球
1121B(a0,)。直接计算，显然?(?,?)?1，但?(?,?)??(?,a0)??(a0,?)???，
3333矛盾，故l?不可数。
第二章 度量空间与赋范线性空间
2.3.2 度量空间中的完备性
我们在学习数列收敛时，已经知道数列收敛的准则是该数列是否为Cauchy列，因为数列收敛的充要条件是数列是Cauchy列，这完全是由实数的完备性所致。在度量空间中，这一结果未必成立。为此，我们引入一个重要的概念——度量空间的完备性。
【定义2.11】 度量空间X中的点列{xn}称为Cauchy列，是指对任意??0，存在自然数N，当n,m?N时，有?(xn,xm)??；度量空间X称为完备的，是指
X中任何Cauchy列都是收敛的。
由定义易知X中的收敛点列是Cauchy列。X中的Cauchy列若有子列收敛，
则Cauchy列也收敛。
例2.21 欧氏空间Rn是完备的。
证明：设{x(k)}是Rn中任一Cauchy列，则对???0，存在自然数N，当
k1,k2?N时，有?(x(k1),x(k2))??，于是，对每个坐标所形成的数列
{xi(k)}(x(k)?(x1(k),x2(k),???,xn(k)))(1?i?n), |xi(k1)?xi(k2)|??(x(k1),x(k2))??
这说明{xi(k)}是Cauchy列，因此，存在实数xi，满足xi(k)?xi(k??)，记作x?(x1,x2,???,xn)，则x?Rn。这样有x(k)?x(k??)。
例2.22 空间C[a,b]是完备的。
证明：设{fn}是C[a,b]中任一Cauchy列，则对???0，存在自然数N，当有?(fn,fm)??，即对任意t?[a,b]，必有|fn(t)?fm(t)|??，令m??，n,m?N时，
有|fn(t)?f0(t)|??，则{fn}一致收敛于f0。而fn?[a,b]，所以f0?[a,b]，且
?(fn,f0)?0(n??)，故C[a,b]空间是完备的。
例2.23 l?空间是完备的。
证明：设{xm}是l?中的Cauchy列，其中xm?{?1(m),?2(m),???,?n(m),???}，则对
???0，存在自然数N，当n,m?N时，下式成立