雅安市高中2015级第三次诊断性考试数学试题(理科)
（本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，答题时间120分钟） 注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3.考试结束后，将答题卡收回。
第Ⅰ卷 （选择题，50分）
一、选择题：(本大题共10个小题,每小题5分,共50分.)在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的.
21. 已知集合M?xx?x?0，N???1,0?,则M?N?
??A. ??1,0,1? B. ??1,1? C. ?0?
D. ?
2. 已知向量a＝(1,2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则x= A．4
B．－4
C．2
D．-2
3. 设a,b∈R,则“a≥1且b≥1”是“a+b≥2”的 A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 4. 设α为锐角，若cos(??A．
45
B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
?6)＝，则sin(2??
?3)的值为
12 25 B．
24 2512 25C. -24 25D．-5. 执行如图所示的程序框图,若输入n的值为3,则输出s的值是 A. 1
B. 2
C. 4
D. 7
6. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 8?2? 3B. 8?? 3C. 8?2?
22D.
2? 37. 已知直线l：x?ky?5?0与圆O:x?y?10交于A,B
- 1 -
两点且OA?OB?0，则k?
D. 2 A.2 B. ?2 C. ?2 2
2
2
8. 若实数a，b满足a＋b≤1，则关于x的方程x－2x＋a＋b＝0有实数根的概率是
A.
3131? B．? 42?4?C．
31? 52?D．
31? 5?9.过抛物线x2?4y的焦点作直线l交抛物线于A,B两点，分别过A,B作抛物线的切线l1,l2,则l1与l2的交点P的轨迹方程是（ ）
A.y??1 B.y??2 C.y?x?1 D. y??x?1
10. 对于定义在正整数集且在正整数集上取值的函数f(x)满足f(1)?1，且对?n?N,有
*f(n)?f(n?1)?f(f(n))?3n?1,则f(2015)?
A. 2014 B. 2015 C. 2016 D. 2017
第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 11. 已知(1＋2i) z＝3－i(i为虚数单位)，则复数z = 12. 在二项式(x-22n)的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和x为 .
13. 若函数f(x)?(a?2)x?2ax?1有零点，但不能用二分法求其零点，则a的值______ 14．曲线y＝2sin?x＋
2??
π?1?π?cos?x－?与直线y＝在y轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记?4?4?2?
为P1，P2，P3，?，则|P2P4|＝________
15. 以下命题，错误的是_________（写出全部错误命题）
①若f(x)?x?(a?1)x?3x?1没有极值点，则?2?a?4
32mx?11在区间??3,???上单调，则m?
3x?3lnx1?m有两个零点，则m? ③若函数f(x)?xe②f(x)?④已知f(x)?logax(0?a?1),k,m,n?R且不全等，
?则f(k?mm?nk?n)?f()?f()?f(k)?f(m)?f(n) 222- 2 -
三、解答题：(本大题共6个小题,75分)解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16．（本题满分12分）
已知向量p＝(2sin x，3cos x)，q＝(－sin x,2sin x)，函数f(x)＝p·q (1)求f(x)的单调递增区间；
(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f(C)＝1，c＝1，ab＝23， 且a>b，求a，b的值．
17. （本题满分12分）
频率/组距
雅安市某中学随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间（单位：分钟），并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是[0，100]，样本数据分组为[0，20），[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]． （1）求直方图中x的值；
（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿； （3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于20分钟的人数记为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
18. （本题满分12分）
?如图1在Rt?ABC中，?ABC?90，D、E分别为线段AB 、AC的中点，
时间
AB?4,BC?22．以DE为折痕，将Rt?ADE折起到图2的位置，使平面A?DE?平面
DBCE，连接A?C,A?B，设F是线段A?C上的动点，满足CF??CA?． （1）证明：平面FBE?平面A?DC；
°（2）若二面角F?BE?C的大小为45，求?的值．
C
- 3 -
E 图1
19.（本小题满分12分）
A?E F
C
D 图2
B 已知数列?an?的前项n和为Sn，点(n,Sn)(n?N?)均在函数f(x)?3x2?2x的图象上。 （1）求数列?an?的通项公式； （2）设bn?3,Tn是数列?bn?的前n项和，求使得2Tn???2015对所有n?N?都anan?1成立的实数?的范围
20. (本小题满分13分)
x2y26已知椭圆2+2?1,(a?b?0)的离心率e=，直线y?x与椭圆交于A，B两点，
ab3C为椭圆的右顶点, OA?OC?（1）求椭圆的方程；
（2）若椭圆上存在两点E,F使OE?OF??OA,??(0,2)，求?OEF面积的最大值。 21. （本题满分14分））
已知f(x)?mx?alnx?m,g(x)?（1）求g(x)的极值；
（2）设m=1,a=0，求证对?x1,x2??3,4?(x1?x2),f(x2)?f(x1)?成立；
（3）设a?2，若对?给定的x0??0,e?，在区间?0,e?上总存在t1,t2(t1?t2)使得
3 2ex，其中m,a均为实数， exex2ex?1恒g(x2)g(x1)f(t1)?f(t2)?g(x0)成立，求m的取值范围。
雅安市高中2015级第三次诊断性考试 数学试题(理科)参考答案及评分意见
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一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.C 6.A 7.B 8.A 9.A 10.C 二、11.
17-i 12. -1 13. 2或-1 14. ? 15. ①②③ 552
16.解:
(1)f(x)＝－2sinx＋23sin xcos x ＝－1＋cos 2x＋23sin xcos x
π
＝3sin 2x＋cos 2x－1＝2sin(2x＋)－1 ??????????3分
6
πππ
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
262ππ
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
36
ππ??∴f(x)的单调增区间是?kπ－，kπ＋?(k∈Z)．??????????6分 36??π
(2)∵f(C)＝2sin(2C＋)－1＝1，
6
π
∴sin(2C＋)＝1，
6
πππ
∵C是三角形的内角，∴2C＋＝，即C＝ ??????????8分
626
a2＋b2－c2322
∴cos C＝＝，即a＋b＝7.
2ab2
1222
将ab＝23代入可得a＋2＝7，解得a＝3或4.
a∴a＝3或2，∴b＝2或3.
∵a>b，∴a＝2，b＝3 ???????????12分. 17. 解:
（1）由直方图可得：
20?x?0.025?20?0.0065?20?0.003?2?20?1．
所以 x=0.0125． ????????????3分 （2）新生上学所需时间不少于1小时的频率为：
0.003?2?20?0.12，
因为1200?0.12?144，
所以1200名新生中有144名学生可以申请住宿． ????????????9分 （3）X的可能取值为0,1,2,3,4.
1由直方图可知，每位学生上学所需时间少于20分钟的概率为4，
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