81?1??3?27?3?P(X?0)????P(X?1)?C1?4?????4?256, ?4??4?64, 273?1??3?3?1??3?P(X?2)?C2?P(X?3)?C?4?4????????4??4?128,?4??4?64,
223431?1?P(X?4)?????4?256． ????????????10分
所以X的分布列为：
4X P EX?0?0 1 2 3 4 81256 2764 27128 364 1256 812727311?1??2??3??4??1EX?4??125664128642564．（或）
所以X的数学期望为1． ????????????12分 18.解: （1）
平面A?DE?平面DBCE,A?D?DE
∴A?D?平面DBCE ∴A?D?BE∴DE?D,E分别为中点
11BC?2,BD?AB?2 ????????????2分 22在直角三角形DEB中，
tan?BED?BDBD2 ?2,tan?CDE??DECB21?tan?BEDtan?CDE?0
∴?BED??CDE?90得BE?DC∴BE?平面A?DC，又BE?平面FEB, ∴平面FEB?平面A?DC ????????????6分 （2）作FG?DC,垂足为G,则FG?平面DBCE,
设BE交DC于O点，连OF，
由（1）知，?FOG为二面角F－BE－C的平面角 ???????7分 由FG//A?D,FGCF???,??ADCA∴FG??A?D?2?
同理，得CG=?CD，DG=（1??）CD=2（31??） DO?BD?DE2323?31??）?，∴OG?DG?DO?2（ BE33- 6 -
在Rt?OGF中，由tan?FOG?FG?OG2?232（31??）?3?1 ????10分
得，??1?3 ????????????12分 3方法2：BE?平面A?DC，设BE交DC于O点，连OF，
则?FOC为二面角F－BE－C的平面角 ????????????7分 又
DB?2,CB?22 ∴CD?23 43 ????????????8分 3由DO:OC?1:2得OC?在直角三角形A?DC中?A?CD?30?,A?C?4，?FOC?45?∴?OFC?105?
43CF3OCCFCF?4????1?得从而得， ???12分 ?3CA?3sin105?sin75?方法3：（向量法酌情给分）
以D为坐标原点DB，DE，DA?分别为OX，OY，OZ轴建立空间直角坐标系，各点坐标分别为D（0，0，0），A?（0，0，2），B（2，0，0），
由
C（2，22，0），E（0，2，0）.
（1）BE?(?2,2,0),DC?(2,22,0),DA??(0,0,2)
∵BE?DC??4?4?0,∴BE?DC, ∵BE?DA??0,∴BE?DA?
DA??D，∴BE?平面A?DC 又BE?平面FBE
所以平面FBE?平面A?DC ?????????????6分
又DC（2）设CF??CA??CF??(?2,22,2)?F(2?2?,22?22?,2?)
设平面BEF的法向量为
n?(x,y,z)BE?(?2,2,0),BF?(?2?,22?22?,2?)
???2x?2y?0， ????2??x?(22?22?)?y?2??z?0取n?(?,2?,3??2) ?????????????8分 又
平面BEC的法向量为n??(0,0,1)
- 7 -
∴cos45??|3??2|3?2?(3??2)2?22得3??6??2?0 2解得??1?
19. 解：
33，又∵0???1 ∴??1? ?????12分 33（1）?点(n,S)在函数f(x)?3x2?2x的图象上， ?Sn?3n2?2n
当n?1时，a1?S1?3?2?1 ??????????2分
22 当n?2时，an?Sn?Sn?1?(3n?2n)?3(n?1)?2(n?1)
?? ?6n?5 ??????????5分 当n?1时，6n?1?1符合
?an?6n?5(n?N) ??????????6分 （2）?bn??331?11??????, anan?1(6n?5)?6(n?1)?5?2?6n?56n?1? ?Tn?1??1??11?1???11?????????????? ?2??7??713??6n?56n?1??1?1??1?? ???????????10分 2?6n?1? ? ?2Tn＜1
又?2Tn???2015对所有n?N都成立
?1???2015
故??2016 ????????????12分 20. 解：
（1）根据题意，不妨设A(t,t)且t?0, OA?(t,t) , OC?(0,a)
??a?t?3 ????????????1分 2t2t2+?1 ????????????2分 a2b2- 8 -
c6 ?a3a2?b2?c2
联立①②③④解得：a2?3,b2?1
x2２?椭圆的方程为：+y?1 ????????????6分
3（2）设E(x1,y1),F(x2,y2)，EF中点为M(x0,y0)，
??2x0?x1?x2??OE?OF??OA,???2y?y?y?012??3?2 ????????????7分 3?2?x12?y12?1??3E,F在椭圆上，则 ?2 相减可得
?x2?y2?12??322x1-x222?y1?y2?0 3kEF?y1?y21x?x21???1??
x1?x23y1?y2331?3?????x???
??43?4??直线EF的方程为：y?x2?y2?1整理得： 即x??3y?3?,代入34y2?23?y??2?1?0
?2?13?，y1.y2? ????????????9分 ?y1?y2?42EF??x1?x2???y1?y2?22 ?10y1?y2
- 9 -
?103?2?4??2?1?2
4??2 ?102原点O?0,0?到直线EF的距离为h?3? ????????????11分 10S?ABC?1EFh 23?4??2 ????????????12分 ?4?3?2?4??2?4
3?2?4??23 ???422当??21. 解： （1）?g(x)?2时等号成立，所以?OEF得最大值为
3。??????????13分 2ex?e(x?1)',?g(x)?,????,1??,?1,????,?g(x)极大值g(1)?1，无极xxee小值； ????????????4分 （2）
m=1,a=0，
?f(x)?x?1,在[3,4]上 是增函数
?ex?ex,在[3,4]上是增函数 g(x)设3?x1?x2?4，则原不等式转化为f(x2)-f(x1) 即证?x1?x2,h(x2)?h(x1),即h(x)在?3,4?? - 10 - h'(x)=1-ex<0在[3,4]恒成立 即h(x)在?3,4??，即所证不等式成立 ??????????????9分 (3）由(1）得g(x)在?0,1???1,e??,g(x)max?g(1)?1所以， g(x)??0,1? 2,当m?0时，f'(x)?0,f(x)在?0，e??不符合题意 x'又f(x)?m?当m?0时，要?t1,t2使得f(t1)?f(t2)， 那么由题意知f(x)的极值点必在区间?0,e?内，即0?得m?2?e m2?2??2?，且函数f(x)在?0,??,?,e?? e?m??m?由题意得g(x)在?0,e?上的值域包含于f(x)在?0,??2??2??和?,e?上的值域 m??m??23?f()?0?2??m? ??,e?内，?me?1?m???f(e)?1下面证t??0,??22??mm?me?,即证2e?m?0 t?e时，，取，先证f(t)?1mm??令w(x)?2ex?x,?w'(x)?2ex?1?0,在??3?,???内恒成立 ?e?1??w(x)?,?w(x)?w(3)?0,?2em?m?0 e?133?1,?m? e?1e?1??????? 14分 ?m?m?m再证f(e)?1,?f(e)?me?m?m?- 11 -