赣州市2015年高三年级模底考试理科数学参考答案
一、选择题
1～5.BADAC； 6～10.BDCAC； 11～12.CD.
12.解：当a?0时，f(x)??3x,x???1,1?，显然满足，故a?0，排除A，B； 当a??f(x)min333992992时，f(x)?x?x，f?(x)?x??(x?1)，所以f(x)在[?1,1]上递减，所以22222239?f(1)????3，满足条件，排除C，故选D.
22
二、填空题
13．80； 14．?； 15．43π； 16．3?22.
16.解：由已知得：a2?a3??2，a4?a5?4，……，a2012?a2013?2012，
23a2014?a2015??2014，把以上各式相加得：S2015?a1??2014?1006??1008，
所以S2015?a1?1008??1007?b，即a1?b?1，所以
12a1?b2(a1?b)??? a1ba1b?3?b2a1??3?22 a1b
三、解答题
17．（1）由正弦定理得
2sinC?sinBacosB?…………………………………………2分
sinBbcosA?sinAcosB…………………………………………………………………………………3分
sinBcosA所以2sinCcosA?sin(A?B)?sinC……………………………………………………4分 因为sinC?0，故cosA?所以A?1………………………………………………………………5分 2π……………………………………………………………………………………6分 3（2）由sinC?2sinB，得c?2b…………………………………………………………7分
π由条件a?3,，A?，
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所以由余弦定理得a?b?c?2bccosA?b?c?bc?3b………………………9分 解得b?3,c?23………………………………………………………………………12分 18．（1）证明：因为平面PAD?平面ABCD，平面PADI平面ABCD?AD，AB?AD 所以AB?平面PAD………………………………………………………………………1分 又PD?平面PAD，所以PD?AB……………………………………………………2分 又PD?PB，所以PD⊥平面PAB………………………………3分 而PD?平面PCD，故平面PCD⊥平面PAB……………………4分
（2）如图，建立空间直角坐标系…………………………………5分 设AD?2a，则A(a,0,0)，D(?a,0,0)
222222B(a,2,0)，C(?a,2,0)，P(0,0,a) ，E(a,1,0)…………………6分
uuruuuruuruuur2，则 EP?EC?0得a?EP?(?a,?1,a),EC?(?2a,1,0)2uuruuur22,?1,)……………………………………………………8分 CE?(2,?1,0)，EP?(?22ur设平面PEC的一个法向量n1?(x1,y1,z1)，
uruur??2x1?y1?0?n1?CP?0?由?u得? ruur??x1?2y1?z1?0?n1?EP?0?ur令x1?1，则n1?(1,2,3)……………………………………………………………………9分 uuruuruur22,?2,)，设平面PEC的一个法向量n2?(x2,y2,z2)， CB?(2,0,0)，CP?(22uuruuur?ur?n2?BC?0??x2?0由?u得?，令y2?1，则n1?(0,1,22)……………………10分 uruurx?22y?z?0?22?2?n2?CP?0?uruururuur|n1?n2|76设二面角E?PC?B的大小为?，则cos??|cos?n1,n2?|?u…………11分 ruur?|n1|?|n2|18故二面角E?PC?B的余弦值为76……………………………………………………12分 18第 7 页 共 11 页
19．（1）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有16人，
所以该班有16?0.2?80人……………………………………………………………………2分 所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为
80?(1?0.375?0.375?0.150?0.025)?6………………………………………………4分
（2）设两人成绩之和为X，则X的值可以为16，17，18，19，20 …………………6分
211112C6C6C212C6C2C21513，P(X?17)?2?，P(X?18)?2?2? P(X?16)?2?C1045C1045C10C1045112C2C24C21P(X?19)?2?，P(X?20)?2?…………………………………………9分
C1045C1045所以X的分布列为
X 16 17 18 19 20 P 1215 4545 1345 445 145……………………………………………10分
1512134186?17??18??19??20??…………………………11分 4545454545586所以X的数学期望为……………………………………………………………………12分
5b2222)……………………………………1分 20．（1）设P(x0,y0),Q(?x0,?y0)，则y0?2(a?x0a所以EX?16?kPA?kQA2y0y0y0b23b2???2??2，依题意有2?
a4x0?ax0?ax0?a2a又c?1，所以解得a2?4,b2?3
x2y2??1……………………………………………………………………5分 故E的方程为43（2）设直线MN的方程为x?my?1，代入E的方程得(3m2?4)y2?6my?9?0 设M(x1,y1),M(x2,y2)，则y1?y2??直线MA的方程为y?6m9…………………………6分 ,yy??12223m?43m?4y1yy1(x?2)，把x?3代入得yC?1? x1?2x1?2my1?1第 8 页 共 11 页
同理yD?y2………………………………………………………………………………7分
my2?1所以|CD|?|yC?yD|?|y1?y2|?3m2?1…………………………………8分 2my1y2?m(y1?y2)?1所以S1?13|CD|?m2?1 2216m2?1……………………………………………………………9分 S2?|AF|?|y1?y2|?23m2?436m2?12222m?t?1， S1?S2?m?1?，令，则m?1?t(t?1)23m2?4所以2S1?S2?3t?6t……………………………………………………………………10分 3t2?16(3t2?1)6t?0……………………………………11分 记f(t)?3t?2，则f?(t)?3?22(3t?1)3t?1所以f(t)在[1,??)单调递增地，所以f(t)的最小值为f(1)?故2S1?S2的最小值为
3 23…………………………………………………………………12分 2ex(x?a?1)21．（1）因为f?(x)?………………………………………………………1分
(x?a)21a?11，所以2?，解得a?2………………………………………………2分 4a411所以f(0)?，因此b?………………………………………………………………3分
22而f?(0)?ex(x?1)由f?(x)?知，
(x?2)2当x??1时，f?(x)?0，当x??1且x??2时，f?(x)?0……………………………4分 故f(x)的单调增区间是(?1,??)，减区间是(??,?2)和(?2,?1)………………………5分
12x?4……………………………………6分 2xx1因为x?1??1，先证ex?(x?2)(?1)?x2?4…………………………………7分
222（2）所证不等式等价于ex?(x?2)x?1?第 9 页 共 11 页
记g(x)?ex?(x?2)(?1)?x212x?4?ex?x2?2x?2 2g?(x)?ex?2x?2，记u(x)?ex?2x?2，则u?(x)?ex?2
由此可知，u(x)在(??,ln2)上单调递减，在(ln2,??)上单调递增 因为u(1)?u(2)?0，u(?1)?u(0)?0，
故g?(x)?0在(0,??)只有一个零点x1(1?x1?2)………………………………………9分 且ex1?2x1?2，
所以g(x)在(0,x1)递减，在(x1,??)递增
所以当x?0时，g(x)?g(x1)?ex1?x12?2x1?2?4?x12?0……………………………10分
12xx?4，又?1?x?1 22x11所以ex?(x?2)(?1)?x2?4?(x?2)x?1?x2?4………………………………11分
222exx2?8x2?8?x?1?即，故f(x)?x?1?……………………………………12分 x?22x?42x?4即ex?(x?2)(?1)?选做题
22．（1）因为AB为圆O的一条直径，所以BF?FH…………………………………2分 又DH?BD，所以B,D,H,F四点共圆…………………………………………………4分 (2)因为AH与圆B相切于点F，
由切割线定理得AF?AC?AD，代入解得AD=4………………………………………5分
2x21(AD?AC)?1,BF?BD?1…………………………………………………6分 2DHAD?又△AFB∽△ADH，所以………………………………………………………7分 BFAFAD?BF?2………………………………………………………………8分 由此得DH?AF所以BD?连接BH，由（1）知，BH为△BDF外接圆的直径，BH?故△BDF的外接圆半径为
BD2?DH2?3……9分
3………………………………………………………………10分 21?2?22?sin135??2…………………………………………………4分 2（2）依题意知圆心到直线AB的距离为3…………………………………………………5分 当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为x??2，
23．（1）S?AOB?显然，符合题意，此时a??22……………………………………………………………6分
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当直线AB存在斜率时，设直线AB的方程为y?k(x?2)………………………………7分
则圆心到直线AB的距离d?|3k|1?k2………………………………………………………8分
依题意有|3k|1?k2?3，无解…………………………………………………………………9分
故a??22…………………………………………………………………………………10分
??1?3x,x?0?1?24．（1）当a?1时，f(x)??1?x,0?x?……………………3分 2?1?3x?1,x??2?y1122根据图易得f(x)?1的解集为{x|0?x?}……………………5分 3（2）令x?ka(k?R)，
O12x由f(x)?a2对任意x?R恒成立等价于|k|?|2k?1|?|a|对任意k?R恒成立………6分
由（1）知|k|?|2k?1|的最小值为故实数a的取值范围为??a?11，所以|a|?………………………………8分 22121……………………………………………………10分 2a?a11?法（2） 易知f(x)min?min?f(0),f()?，只需f(0)?a2且f()?a2，解得??a?．
2?222?
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