2、当随机变量x取某一特定值时，其概率等于0；即
P(x?c)??ccf(x)dx?0 (c为任意实数)
因而，对于连续型随机变量，仅研究其在某一个区间内取值的概率，而不去讨论取某一个值的概率。
3、在一次试验中随机变量x之取值必在-∞＜x＜+∞范围内，为一必然事件。所以
P(???x???)??f(x)dx?1 (4-5)
????(4—5)式表示分布密度曲线下、横轴上的全部面积为1。
第三节 正态分布
正态分布是一种很重要的连续型随机变量的概率分布。生物现象中有许多变量是服从或近似服从正态分布的，如家畜的体长、体重、产奶量、产毛量、血红蛋白含量、血糖含量等。许多统计分析方法都是以正态分布为基础的。此外，还有不少随机变量的概率分布在一定条件下以正态分布为其极限分布。因此在统计学中，正态分布无论在理论研究上还是实际应用中，均占有重要的地位。
一、正态分布的定义及其特征
(一) 正态分布的定义 若连续型随机变量x的概率分布密度函数为
(x??)22?2f(x)?2
1?2?e? (4-16)
其中μ为平均数，σ为方差，则称随机变量x服从正态分布(normal distribution)， 记为x～N(μ,σ)。相应的概率分布函数为
2
F(x)?分布密度曲线如图4—2所示。
1?2??x??e?(x??)22?2dx (4-17)
图4—2 正态分布密度曲线
37
(二) 正态分布的特征 由(4—6)式和图4—2可以看出正态分布具有以下几个重要特征：
1、正态分布密度曲线是单峰、对称的悬钟形曲线，对称轴为x=μ； 2、f(x)在x=μ处达到极大，极大值f(?)?1?2?；
3、f(x)是非负函数，以x轴为渐近线，分布从-∞至+∞；
4、曲线在x=μ±σ处各有一个拐点，即曲线在(-∞,μ-σ)和(μ+σ,+∞) 区间上是下凸的，在[μ-σ,μ+σ]区间内是上凸的；
5、正态分布有两个参数，即平均数μ和标准差σ。μ是位置参数，如图4—3所示。 当σ恒定时，μ愈大，则曲线沿x轴愈向右移动；反之，μ愈小，曲线沿x轴愈向左移动。σ是变异度参数，如图4—4所示。当μ恒定时，σ愈大，表示x的取值愈分散， 曲线愈“胖”；σ愈小，x的取值愈集中在μ附近，曲线愈“瘦”。
6、分布密度曲线与横轴所夹的面积为1，即：
P(???x???)?1????2?e???(x??)22?2dx?1
图4—3 σ相同而μ不同的三个正态分布
图4—4 μ相同而σ不同的三个正态分二、标准正态分布
由上述正态分布的特征可知，正态分布是依赖于参数μ和σ(或σ)的一簇分布， 正态曲线之位置及形态随μ和σ的不同而不同。这就给研究具体的正态总体带来困难， 需将一般的N(μ，σ)转换为μ=0,σ=1的正态分布。我们称μ=0,σ=1的正态分布为标准正态分布(standard normal distribution)。标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别记作ψ(u)和Φ(u)，由 (4-6)及(4-7) 式得：
u222
2
2
2
2
?(u)??(u)?12?12?ue?? (4-8)
e???12u2du (4-9)
随机变量u服从标准正态分布，记作u～N(0，1)，分布密度曲线如图4—5所示。
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图4—5 标准正态分布密度曲线 2
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ)的随机变量x，都可以通过标准化变换：
u=(x-μ)／σ (4-10)
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。u称为标准正态变量或标准正态离差(standard normal deviate)。
按(4-9)式计算，对不同的u值编成函数表，称为正态分布表，见附表1，从中可查到u在意一个区间内取值的概率。这就给解决不同μ、σ的正态分布概率计算问题带来很大方便。
2
三、正态分布的概率计算
关于正态分布的概率计算，我们先从标准正态分布着手。这是因为，一方面标准正态分布在正态分布中形式最简单，而且任意正态分布都可化为标准正态分布来计算；另一方面，人们已经根据标准正态分布的分布函数编制成正态分布表(附表1)以供直接查用。
(一) 标准正态分布的概率计算 设u服从标准正态分布，则u在[u1,u2]内取值的概
率为：
P(u1?u?u2)?12??u2u1e1?u22du?12??u2??e1?u22du?12??u1??e1?u22du
＝Φ(u2)－Φ(u1) (4-11)
而Φ(u1)与Φ(u2)可由附表1查得。
附表1只对于-4.99≤u＜4.99给出了Φ(u)的数值。 表中，u值列在第一列和第一行，第一列列出u的整数部分及小数点后第一位， 第一行为u的小数点后第二位数值 。例如，u=1.75，1.7放在第一列，0.05放在第一行。在附表1中，1.7所在行与0.05 所在列相交处的数值为0.95994，即Φ(1.75)=0.95994。有时会遇到给定Φ(u)值，例如Φ(u)=0.284， 反过来查u值。这只要在附表1中找到与0.284最接近的值0.2843，对应行的第一列数-0.5， 对应列的第一行数值0.07，即相应的u值为u=-0.57，亦即Φ(-0.57)=0.284。如果要求更精确的u值，可用线性插值法计算。
表中用了象.02336，.97674这种写法，分别是0.0002326和0.9997674的缩写，0表示连续3个0，9表示连续3个9。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出下列关系式，再借助附表1， 便能很方便地计算有关概率：
3
3
3
3
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P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5 P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1) (4-12) P(｜u｜＜u1)=1-2Φ(-u1) P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝? (2) P (u≥2.58)=? (3) P (｜u｜≥2.56)=? (4) P(0.34≤u＜1.53) =? 利用(4-12)式，查附表1得： (1) P(u＜-1.64)=0.05050
(2) P (u≥2.58)=Φ(-2.58)=0.024940
(3) P (｜u｜≥2.56)=2Φ(-2.56)=2×0.005234=0.010468
(4) P (0.34≤u＜1.53)=Φ(1.53)-Φ(0.34)=0.93669-0.6331=0.30389 关于标准正态分布，以下几种概率应当熟记：
P（-1≤u＜1）=0.6826 P（-2≤u＜2）=0.9545 P（-3≤u＜3）=0.9973 P（-1.96≤u＜1.96）=0.95 P (-2.58≤u＜2.58)=0.99
图4—6 标准正态分布的三个常用概率 u变量在上述区间以外取值的概率分别为：
P(｜u｜≥1)=2Φ(-1)=1- P(-1≤u＜1)=1-0.6826=0.3174 P(｜u｜≥2)=2Φ(-2)=1- P（-2≤u＜2）=1-0.9545=0.0455 P(｜u｜≥3)=1-0.9973=0.0027 P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05 P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
(二) 一般正态分布的概率计算 正态分布密度曲线和横轴围成的一个区域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概率为1。若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ)，则x的取值落在任意区间[x1,x2）的概率，记作P(x1≤x＜x2)，等于图4-7中阴影部分曲边梯形面积。即：
2
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P(x1?x?x2)?1?2??xx21e?(x??)22?2dx (4-13)
图4—7 正态分布的概率 对 (4-13)式作变换u=(x-μ)／σ，得dx=σdu，故有
P(x1?u?x2)??1?2?12??xx21e?(x??)22?2du?1?2??(x??)/?1(x2??)/?1?u2e2?du
?uu211?u2e2du=?(u2)??(u1)
其中，u1?x1??,u2?x2??
?? 这表明服从正态分布N(μ,σ)的随机变量x在[x1，x2）内取值的概率，等于服从标准正态分布的随机变量u在[(x1-μ)/σ, (x2-μ)/σ）内取值的概率。因此，计算一般正态分布的概率时，只要将区间的上下限作适当变换(标准化)，就可用查标准正态分布的概率表的方法求得概率了。
【例4.7】 设x服从μ=30.26,σ=5.10的正态分布，试求P(21.64≤x＜32.98)。
令u?x?30.26， 则u服从标准正态分布，故
5.1021.64?30.26x?30.2632.98?30.26P(21.64?x?32.98)?P(??)
5.105.105.10 =P(-1.69≤u＜0.53)=Φ(0.53)-Φ(-1.69) =0.7019-0.04551=0.6564
关于一般正态分布，以下几个概率(即随机变量x落在μ加减不同倍数σ区间的概率)是经常用到的。
P(μ-σ≤x＜μ+σ)=0.6826 P(μ-2σ≤x＜μ+2σ) =0.9545 P (μ-3σ≤x＜μ+3σ) =0.9973 P (μ-1.96σ≤x＜μ+1.96σ) =0.95 P (μ-2.58σ≤x＜μ+2.58σ)=0.99
上述关于正态分布的结论，可用一实例来印证。从图2-7可以看出，126头基础母羊体重资料的次数分布接近正态分布，现根据其平均数x=52.26(kg)，标准差S=5.10(kg)，算出平均数加减不同倍数标准差区间内所包括的次数与频率，列于表4—2。
2
2
2
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