（1）求f(x)的单调区间； （2）求f(x)的零点个数.
（1）解：f(x)的定义域是?0,??? 1分
1ax2?a∵f??x???3? 2分 3xxx当a?0时，f??x??0，?0,???是f(x)的增区间， 3分 当a?0时，令f??x??0,x??a，（负舍去） 当0?x?a时，f??x??0；当x?a时，f??x??0 5分
所以0,a是f(x)的减区间，
???a,??是f(x)的增区间。 6分
?综合：当a?0时，f(x)的增区间是?0,???， 当a?0时，f(x)的减区间是0,a，f(x)的增区间是
???a,?? 7分
?（2）由（1）知道当a?0时，f(x)在?0,???上是增函数，当a=0时有零点x=1， 8分 当a?0时，fe???a?ea2a?1??0,f?e?a??a?1?e?2a??0, 9分
(或当x→+0时，f(x)→-∞, 当x→+∞时，f(x)→+∞,)
所以f(x)在?0,???上有一个零点， 10分 当a?0时，由（1）f(x)在0,a上是减函数，f(x)在f(x)有极小值，即最小值f当
???a,??上是增函数，所以当x?a是，???a?1?lna?1?。 11分 211?lna?1??0，即a?时f(x)无零点，
e211?lna?1??0，即a?时f(x)有一个零点，
e211?lna?1??0，即0?a?时f(x) 有2个零点。 13分 2e当
当
综合：当a?111时f(x)无零点，当a?时f(x)有一个零点，当0?a?时f(x) 有2个零点。 eee 14分
5、（海珠区2014届高三上学期综合测试（二））
设a?R,函数f(x)?lnx?ax.
（Ⅰ）若a?2，求曲线y?f(x)在P?1,?2?处的切线方程； （Ⅱ）若f(x)无零点,求实数a的取值范围；
2（Ⅲ）若f(x)有两个相异零点x1,x2,求证: x1?x2?e.
解：在区间?0,???上,f?(x)?11?ax. ???????1分 ?a?xx（1）当a?2时，f?(1)?1?2??1， ????2分
则切线方程为y?(?2)??(x?1)，即x?y?1?0 ????3分 （2）①若a?0,f(x)?lnx有唯一零点x?1. ????4分
②若a?0,则f?(x)?0,f(x)是区间?0,???上的增函数, ????5分
Qf(1)??a?0,f(ea)?a?aea?a(1?ea)?0,
?f(1)?f(ea)?0,函数f(x)在区间?0,???有唯一零点. ????6分
③若a?0,令f?(x)?0得: x?1. a在区间(0,)上, f?(x)?0,函数f(x)是增函数;
在区间(,??)上, f?(x)?0,函数f(x)是减函数; ????7分 故在区间?0,???上, f(x)的极大值为f()?ln由f()?0,即?lna?1?0,解得:a?1a1a1a1?1??lna?1.???8分 a1a1. e故所求实数a的取值范围是(,??). ????9分 (3) 设x1?x2?0,Qf(x1)?0,f(x2)?0,?lnx1?ax1?0,lnx2?ax2?0
1e?lnx1?lnx2?a(x1?x2),lnx1?lnx2?a(x1?x2)2原不等式x1?x2?e?lnx1?lnx2?2
????10分
?a(x1?x2)?2?
lnx1?lnx2x2(x1?x2)2????11分 ??ln1?x1?x2x1?x2x2x1?x2
令
x1x2(x1?x2)2(t?1). ????12分 ?t,则t?1,于是ln1??lnt?x2x2x1?x2t?114(t?1)22(t?1)??0 设函数g(t)?lnt?(t?1),求导得: g?(t)??t(t?1)2t(t?1)2t?1故函数g(t)是?1,???上的增函数, ????13分
?g(t)?g(1)?0，即不等式lnt?2(t?1)成立, t?1故所证不等式x1?x2?e2成立. ????????14分 6、（河源市东江中学2014届高三11月月考）
已知函数f?x??13x?ax2??a2?1?x?b?a,b?R?，其图象在点?1,f?1??处的切线方程为3x?y?3?0.
(1)求a,b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间，并求出f(x)在区间[?2,4]上的最大值
7、（惠州市2014届高三上学期第二次调研） 已知函数f(x)?ax?ln(1?x)
2
（1）当a?4时，求函数f(x)在(0,??)上的极值； 52（2）证明：当x?0时，ln(1?x)?x；
111. )(1?)?(1?)?e (n?N?,n?2,e为自然对数的底数）44423n44解 （1）当a?时，f(x)?x?ln(1?x2)
55（3）证明：(1?42x4x2?10x?4?f(x)??? ?????1分 251?x25(1?x)'x,f'(x),f(x)变化如下表
x
?1?1?0,? ?2?20 极大值
?1??,2? 2 ?2?-
0
?2,???
+
f'(x) +
f(x)
↗
↘ 极小值 ↗
1258?f极大值?f()??ln， f极小值?f(2)??ln5 ?????4分
2545（2）令g(x)?x?ln(1?x)
22x(x?1)2??0 ?????????6分 则g(x)?1?221?x1?x'?g(x)在?0，???上为增函数。?g(x)?g(0)?0 ??????8分 ?ln(1?x2)?x ???????9分
（3）由（2）知ln(1?x)?x ???????10分 令x?2111111得， ????12分 ln(1?)????n4n2n(n?1)n?1nn4111)?ln(1?)????ln(1?) 2434n411111111?1???????????1??1 ????13分
22334n?1nn111?(1?4)(1?4)?(1?4)?e ????14分
23n?ln(1?
8、（江门市2014届高三调研）
已知函数f(x)?e(ax?b)，曲线y?f(x)经过点P(0 , 2)，且在点P处的切线为 l：y?4x?2．
⑴ 求常数a，b的值；
⑵ 求证：曲线y?f(x)和直线 l 只有一个公共点；
⑶ 是否存在常数k，使得x?[?2 , ?1]，f(x)?k(4x?2)恒成立？若存在，求常数k的取值范围；若不存在，简要说明理由． 解：⑴f(x)?e(ax?a?b)??1分，
0??f(0)?2?e(a?0?b)?2依题意，?/即?0??3分，
f(0)?4???e(a?0?a?b)?4解得a?b?2??5分。
xx⑵记g(x)?e(ax?b)?(4x?2)?2e(x?1)?2(2x?1)，
x/x则g(x)?2e(x?2)?4??6分，
当x?0时，g(x)?0；当x?0时，g(x)?0；当x?0时，g(x)?0??8分，所以
////xg(x)?g(0)?0，等号当且仅当x?0时成立，即f(x)?4x?2，等号当且仅当x?0时成立，曲线y?f(x)和直线 l 只有一个公共点??9分。
⑶x?[?2 , ?1]时，4x?2?0，所以f(x)?k(4x?2)恒成立当且仅当
f(x)ex(x?1)??10分， k??4x?22x?1ex(2x2?3x)ex(x?1)/记h(x)?，x?[?2 , ?1]，h(x)???11分， 22x?1(2x?1)3/由h(x)?0得x?0（舍去），x????12分
233//当?2?x??时，h(x)?0；当??x??1时，h(x)?0??13分，
22331?2ex(x?1)所以h(x)?在区间[?2 , ?1]上的最大值为h(?)?e，常数k的取值范围为
242x?11?2(e , ??)??14分． 49、（揭阳一中、潮州金山中学2014届高三上学期期中联考） 设函数f(x)?x?(a?2)x?alnx.（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间 （Ⅱ）若函数f(x)有两个零点x1，x2，且x1?x2，求证：f'(23x1?x2)?0 2a2x2?(a?2)x?a(2x?a)(x?1)（Ⅰ）f'(x)?2x?(a?2)??(x?0) ??2分 ?xxx当a?0时，f'(x)?0，函数f(x)在(0,??)上单调递增，
所以函数f(x)的单调递增区间为(0,??) ??????????4分