习题一答案
1． 求下列复数的实部、虚部、模、幅角主值及共轭复数：
i1 （2）
(i?1)(i?2)3?2i13i821 （3）? （4）?i?4i?i
i1?i13?2i解：（1）z?， ?3?2i1332因此：Rez?, Imz??，
13131232z?, argz??arctan, z??i
3131313ii?3?i??（2）z?，
(i?1)(i?2)1?3i1031因此，Rez??, Imz?，
10101131z?, argz???arctan, z???i
310101013i3?3i3?5i（3）z??， ??i??i1?i2235因此，Rez?, Imz??，
323453?5iz?, argz??arctan, z?
232821（4）z??i?4i?i??1?4i?i??1?3i
（1）
因此，Rez??1, Imz?3，
z?10, argz???arctan3, z??1?3i
2． 将下列复数化为三角表达式和指数表达式： （1）i （2）?1?（4）r(cos?解：（1）i3i （3）r(sin??icos?)
?isin?) （5）1?cos??isin? (0???2?)
?cos?2?isin?2?2?e
i2?i223（2）?1?3i?2(cos??isin?)?2e
33（3）r(sin?（4）r(cos??icos?)?r[cos(??)?isin(??)]?re22?isin?)?r[cos(??)?isin(??)]?re??i ?isin??2sin2??(??)i2?
（5）1?cos???2isincos 222???i?2sin[cos2（1）(????2?isin??????2]?2sine22
3． 求下列各式的值：
3?i)5 （2）(1?i)100?(1?i)100
(cos5??isin5?)2(1?3i)(cos??isin?) （3） （4）
(cos3??isin3?)3(1?i)(cos??isin?)（5）3i （6）解：（1）(51?i 3?i)5?[2(cos(?)?isin(?))]5
66??5?5??2(cos(?)?isin(?))??16(3?i)
66（2）(1?i)100?(1?i)100?(2i)50?(?2i)50??2(2)50??251
(1?3i)(cos??isin?)（3）
(1?i)(cos??isin?)?2[cos(?)?isin(?)](cos??isin?)332[cos(?)?isin(?)][cos(??)?isin(??)]44????
?2[cos(??12)?isin(??12)](cos2??isin2?)
?2[cos(2???12)?isin(2???12)]?2e(2???12)i
(cos5??isin5?)2（4） 3(cos3??isin3?)cos10??isin10???cos19??isin19? cos(?9?)?isin(?9?)（5）3i?cos3?2?isin?2 ?31?i, k?0??22?311?1??i, k?1 ?cos(?2k?)?isin(?2k?)???3232?22??i, k?2??（6）1?i?2(cos??isin) 44?i?4?81?1??2e, k?04 ?2[cos(?2k?)?isin(?2k?)]???2424??42e8i, k?1?4． 设z1?z1?i, z2?3?i,试用三角形式表示z1z2与1
z22解：z1?cos??isin, z2?2[cos(?)?isin(?)]，所以
4466???z1z2?2[cos(?)?isin(?)]?2(cos?isin)， 46461212z11????15?5??[cos(?)?isin(?)]?(cos?isin) z224646212125． 解下列方程： （1）(z?i)5???????1 （2）z4?a4?0 (a?0)
?51, 由此
解：（1）z?iz?51?i?e（2）z2k?i5?i， (k?0,1,2,3,4)
?4?a4?4a4(cos??isin?) 时，对应的4
11,1,2,3?a[cos(??2k?)?isin(??2k?)]，当k?044个根分别为：aaaa(1?i), (?1?i), (?1?i), (1?i) 22226． 证明下列各题：（1）设z?x?iy,则x?y2?z?x?y
证明：首先，显然有 其
次
z?x2?y2?x?y；
，
因
x2?y2?2xy,
固此有
2(x2?y2)?(x?y2) , 从而
z?x?y?222x?y22。
2（2）对任意复数z1,z2,有z1?z2?z1?z2?2Re(z1z2)
2证明：验证即可，首先左端?(x1?x2)而右端??(y1?y2)2，
x12?y12?x22?y22?2Re[(x1?iy1)(x2?iy2)]
?x12?y12?x22?y22?2(x1x2?y1y2)?(x1?x2)2?(y1?y2)2，
由此，左端=右端，即原式成立。 （3）若a?bi是实系数代数方程a0zn?a1zn?1???an?1z?a0?0
的一个根，那么a?bi也是它的一个根。
证明：方程两端取共轭，注意到系数皆为实数，并且根据复数的乘法运算规则，zn?(z)n，由此得到：a0(z)n?a1(z)n?1???an?1z?a0?0
由此说明：若z为实系数代数方程的一个根，则z也是。结论得证。 （4）若
a?1,则?b?a,皆有
a?b?a
1?ab证明：根据已知条件，有aa?1，因此：
a?ba?ba?b1????a，证毕。
1?abaa?ab(a?a)baa?b（5）若a?1, b?1，则有?1
1?ab证明：
a?b?(a?b)(a?b)?a?b?ab?ab，
222222 1?ab?(1?ab)(1?ab)?1?ab?ab?ab， 因为
a?1, b?1，所以，
2a?b?a2222 0， b?1?(1?a)(b?1)?222a?b因而a?b?1?ab，即?1，结论得证。
1?ab7．设
z?1,试写出使zn?a达到最大的z的表达式，其中n为正整数，a
为复数。
解：首先，由复数的三角不等式有
zn?a?zn?a?1?a，
n为此，需要取zzn?a达到最大，
在上面两个不等式都取等号时
na与a同向且z?1，即z应为a的单位化向量，由此，z?，
ann
z?na a8．试用z1,z2,z3来表述使这三个点共线的条件。 解：要使三点共线，那么用向量表示时，z2?z1与z3?z1应平行，因而二
者应同向或反向，即幅角应相差0或?的整数倍，再由复数的除法运算规则知Argz2?z1应为0或?的整数倍，至此得到：
z3?z1