z4z2n??)，所以由性解：函数的零点是z?0，因ze?z(1?z????2!n!2质5.4知，z?0是z2ez的2级零点． （3）sinz(ez?1)z2
解：函数的零点是z0?0，z1?k?，z2?2k?i，k?0，
2z222记f(z)?sinz(ez?1)z2，f'(z)?cosz(ez?1)z2?sinz[ezz2?2z(ez?1)] ① z?0时，z?0是sinz的1级零点，，ez?1的1级零点，z2的2级零点，所以z?0是sinz(ez?1)z2的4级零点．
②z1?k?，k?0时，f(z1)?0，f'(z1)?0，由定义5.2知，z1?k?，k?0是f(z)的1级零点．
③z2?2k?i，k?0时，f(z1)?0，f'(z1)?0，由定义5.2知，z2?2k?i，k?0是f(z)的1级零点．
3． z?0是函数(sinz?shz?2z)?2的几级极点？ 答：记f(z)?sinz?shz?2z，则f'(z)? cosz?chz?2，f''(z)??sinz?shz，f'''(z)??cosz?chz，f(4)(z)?sinz?shz，f(5)(z)?cosz?chz，将z?0代入，得：
f(0)?f'(0)?f''(0)?f'''(0)?f(4)(0)?0，f(5)(z)?0，由定义5.2知， z?0是函数f(z)?sinz?shz?2z的5级零点，故是(sinz?shz?2z)?2的10级极点． 4． 证明：如果z0是f(z)的m(m?1)级零点，那么z0是f'(z)的m?1级零点． 证明：因为z0是f(z)的m级零点，所以
f(z0)?f'(z0)?f''(z0)???fm?1(z0)?0，
fm(z0)?0，即f'(z0)?(f'(z0))'???(f'(z0))m?2?0，(f'(z0))m?1?0，由定义5.2知，z0是f'(z)的m?1级零点．
5． 求下列函数在有限孤立奇点处的留数．
z?1（1）2
z?2z解：函数的有限孤立奇点是z?0,z?2，且z?0,z?2均是其1级极点．由定理5.2知，
z?11Res[f(z),0]?limzf(z)?lim??，
z?0z?0z?22z?13Res[f(z),2]?lim(z?2)f(z)?lim?．
z?0z?0z21?z4（2）2
(z?1)3解：函数的有限孤立奇点是z??i，且z??i是函数的3级极点，由定理5.2，
111?z4''112?12z233''Res[f(z),i]?lim[(z?i)f(z)]?lim()?lim??i，
2!z?i2z?i(z?i)32z?i(z?i)58111?z4''112?12z233''Res[f(z),?i]?lim[(z?i)f(z)]?lim()?lim?i． 35z??iz??iz??i2!2(z?i)2(z?i)81?e2z（3）4
z解：函数的有限孤立奇点是z?0， 1?e2z1(2z)2(2z)n222232nzn?4?????)??3?????? 因4?4(?2z?zz2!n!z2!z23!zn!1?e2z4所以由定义5.5知，Res[4,0]??．
z31（4）z2sin
z解：函数的有限孤立奇点是z?0， 因
11(?1)n1(?1)n221zsin?z(??????)?z??????zz3!z3(2n?1)!z2n?13!z(2n?1)!z2n?1
11所以由定义5.5知，Res[z2sin,0]??．
z61（5）cos
1?z解：函数的有限孤立奇点是z?1，因
11(?1)ncos?1?????? 22n1?z2!(1?z)(2n)!(1?z)1,1]?0． 所以由定义5.5知，Res[cos1?z1（6）
zsinz解：函数的有限孤立奇点是z?k?,k?Z． ①k?0，即z?0， 因为
z3zn?zzn?n2nzsz?zz????????z??????? i3n?n?1所以z?0是的2级极点．由定理5.2，
zsinz11'z'zRes[,0]?lim[z2]?lim()?lim?0．
z?0z?0sinzz?02coszzsinzzsinz②z?k?,k?0时，记g(z)?zsinz，则g'(z)?sinz?zcosz，
因为g(k?)?0,g'(k?)?0，所以由定义5.2知，z?k?,k?0是g(z)的1级
1零点，故它是的1级极点．由定理5.3，
zsinz1111Res[,k?]?'??(?1)k,k?0．
zsinzg(k?)k?cosk?k?6． 利用留数计算下列积分（积分曲线均取正向）．
!e2z（1）??z?2(z?1)2dz
e2z解：z?1是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，2(z?1)由定理5.2，
e2ze2z'22z2， Res[,1]?lim[(z?1)]?lim2e?2e22z?1z?1(z?1)(z?1)由定理5.1知，
e2ze2z2dz?2?iRes[,1]?4?ei． 2??z?2(z?1)2(z?1)ez（2）??z?32(z?1)(z?3)2dz
ez解：z?1是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为1
(z?1)(z?3)2级极点，
所以由定理5.1及定理5.2，
ezez??z?32(z?1)(z?3)2dz?2?iRes[(z?1)(z?3)2,1]
ezez?ei． ?2?ilim((z?1))?2?ilim?z?1z?1(z?3)2(z?1)(z?3)28z（3）??z?1sinzdz
z解：z?0是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，
sinzzz?1，所以由性质5.1知z?0是函数因为lim的可去奇点，
z?0sinzsinzz,0]?0，由定理5.1，从而由定理5.1，Res[sinzzzdz?2?iRes[,0]?0． ??z?1sinzsinz1（4）??z?1zsinzdz
1解：z?0是被积函数在积分区域内的有限孤立奇点，且为2级极点，
zsinz由定理5.2，
11'zRes[,0]?lim(z2)?lim?0，
z?0z?0zsinzzsinz2cosz11dz?2?iRes[,0]?0． 由定理5.1，??z?1zsinzzsinzsinz（5）??z?12z(1?ez)dz
sinz在积分区域内的有限孤立奇点，由性质5.6
z(1?ez)z?0知是函数的1级极点，szinzsinzszin Rse[?z,0?]?li?m?()z?zzz?0)z?eze01??ez(?ez1(?)z01sinzsizn由定理5.1， ?dz?2?iRes[,?0?]?i．2 z?z?12z(1?ez)z(?1e)解：z?0是被积函数
lci（6）??z?3tan?zdz
解：被积函数tan?z在积分区域z?3内的有限孤立奇点为：
1zk?k?,k??3,?2,?1,0，由定理5.3，这些点均为tan?z的1级极点，且
2sin?zk1 Res[ta?nzkz,?]??
??sin?zk?由定理5.1，??z?36tan?zdz?2?i?Res[tan?z,zk]?2?i?(?)??12i．
k??32?1 dz，其中n为正整数，a?1,b?1,a?b．
z?1(z?a)n(z?b)n1解：记f(z)?，则f(z)的有限孤立奇点为z?a,z?b，且为n(z?a)n(z?b)n级极点，分情况讨论如下：
①a?b?1时，z?a,z?b均在积分区域内，由定理5.1，
7． 计算积分????
z?1f(z)dz?2?iRes[f(z),a]?2?iRes[f(z),b]
1(2n?2)!n?1?2n?1lim[(z?a)nf(z)](n?1)?(?1)(a?b)(n?1)!z?a((n?1)!)21(2n?2)!lim[(z?b)nf(z)](n?1)?(?1)n?1(b?a)?2n?12(n?1)!z?b((n?1)!)Res[f(z),a]?Res[f(z),b]?
1dz?0．
z?1(z?a)n(z?b)n②1?a?b时，z?,a?z故有??b不在积分区域内，所以均
1??z?1(z?a)n(z?b)ndz?0．
③a?1?b时，z?a在积分区域内，z?b不在积分区域内，
(?1)n?1(2n?2)!i所以??z?1f(z)dz?2?iRes[f(z),a]?[(n?1)!]2(a?b)2n?1 习题五
8．判断z??是下列各函数的什么奇点？求出在?的留数。 解：（1）因为
111????, ? z0???|| z22!z43z!61?z12?z2所以，z??是e的可去奇点，且Res?e,????c?1?0。
??（2）因为
z2z4zn2n cosz??1?????(1)??,z ? ?? | |2!4!n(2)!1 ez?1?2z3z5zn2?1n sinz?z?????(?1)??, z |? ?|?3!5!n(?21)!所以
n2z2z3z4zn?21nzncosz??1z???????(1)??(1)??z,? ?? ||2!3!4!n(2)!n?(21)!于是，z??是cosz?sinz的本性奇点，且Res?cosz?sinz,????c?1?0。 （3）因为
z2z3 e?1?z????, |z|???
2!3! 111?11?111??1?????????, ? z1???|| ?2?242461z2?1zzzzzz????z2?1?2??z?所以
???111ezz2z3? 2??1?z??????2?4?6???, 1?|z|???
z?1?2!3!zz???zzez容易看出，展式中由无穷多z的正幂项，所以z??是2的本性奇点。
z?1?ez?e1?e?1?11? Res?2,????c?1???1?????????sh 1。
2?3!5!??z?1?（4）因为
1? 0 limz??z(z?14)(z?4)1所以z??是的可去奇点。 4z(z?1)(z?4)??????111 Res?, ????Res?, 0? 442?1?1?1?z?z(z?1)(z?4)????1?(?4)??z?z?z???z4,? ?0。 0 ??Re?s4?z4)????1?z?(1?9．计算下列积分：